弹性力学与有限元

弹性力学与有限元第1页，课件共40页，创作于2023年2月参考书目王勖成，邵敏。《有限单元法基本原理和数值方法》（第2版），清华大学出版社，1997年。王焕定，吴德伦。《有限单元法及计算程序》，中国建筑工业出版社，1997年。O.C.监凯维奇。《有限元法》（中译本），科学出版社，1985年。龙驭球。《有限元法概论》（第二版），高等教育出版社，1991年。学习用有限元软件：ANSYS

最好6.0版本以上。第2页，课件共40页，创作于2023年2月第一讲弹性力学基础与有限元法数学原理1-1材料力学与弹性力学1-2一点应力、应变状态1-3位移－应变关系，几何方程1-4应力－应变关系，物理方程1-5应力－外力关系，运动平衡方程1-6边界条件1-7弹性力学问题的求解方法1-8有限元法数学原理与发展1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法1-10变分原理与Ritz方法1-11功能原理1-12小结第3页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学材料力学—

区别与联系—

弹性力学

1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。第4页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）材料力学—

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弹性力学

3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。第5页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）材料力学—

区别与联系—

弹性力学第6页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）材料力学—

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弹性力学第7页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）材料力学—

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弹性力学第8页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）材料力学—

区别与联系—

弹性力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：第9页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）弹性力学中的五点基本假定(1)物体是连续的：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。第10页，课件共40页，创作于2023年2月1-1材料力学与弹性力学（续）弹性力学中的五点基本假定(4)物体是各向同性的：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第11页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态弹性体内微小的平行六面体PABC，称为微元体。每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。图1-4第12页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态（续）

可以证明：如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。第13页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态（续）弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：

1、给出各点的位移；2、给出各微元体的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标x、y、z的函数。第14页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态（续）应变微元体的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。第15页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态（续）

可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。一般说来，弹性体内各点的应变状态都不相同，因此，描述弹性体内应变状态的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。

第16页，课件共40页，创作于2023年2月1-2一点应力、应变状态（续）第17页，课件共40页，创作于2023年2月1-3位移－应变关系，几何方程几何方程（又称变形协调方程）：表明任一点的应变分量与位移分量之间的关系。（6个方程）（可推导得到等价的相容方程）第18页，课件共40页，创作于2023年2月1-4应力－应变关系，物理方程物理方程（又称本构方程）：表明任一点的应力分量与应变分量之间的关系。（6个方程）第19页，课件共40页，创作于2023年2月1-5应力－外力关系，运动平衡方程运动平衡方程：表明任一点的应力分量与体积力分量之间的关系。（3个方程）静力平衡时的张量形式的平衡方程：第20页，课件共40页，创作于2023年2月1-6边界条件应力边界条件：在已知表面力的边界面上，由表面微元体的“平衡”，在略去高阶微量时，体内的应力与表面力之间存在如下应力边界条件第21页，课件共40页，创作于2023年2月1-6边界条件（续）位移边界条件：在已知位移的边界面上，体内的位移在边界处应满足如下位移边界条件第22页，课件共40页，创作于2023年2月1-7弹性力学问题的求解方法问题描述（15个未知函数，15个方程，两个边界条件）：几何方程物理方程静力平衡方程已知：应力边界条件位移边界条件解析求解方法：应力函数法、位移函数法（局限性：仅有极少数问题能找到应力函数或位移函数）第23页，课件共40页，创作于2023年2月1-8有限元数学原理与发展由前可见，弹性力学问题的求解其实就是微分方程的求解。其分析方法可分为解析法与数值法两类。解析法通常只是对某些简单问题才能得出闭合形式的解答。对于复杂的结构问题要用解析法求出闭合解往往是不可能的，唯一的途径是应用数值法求出问题的近似解。力学分析的数值法分类：在解析法的基础上进行近似数值分析。第一步，对连续体力学问题建立基本微分方程；第二步，对基本微分方程采用近似的数值解法。代表：有限差分法。在力学模型上进行近似的数值计算。第一步，将连续体简化为有限个单元组成的离散化模型；第二步，对离散化模型求出数值解答。代表：有限元法，边界元法，无网格法，…第24页，课件共40页，创作于2023年2月1-8有限元数学原理与发展（续）

第一类方法：解决具有规则的几何特性和均匀的材料特性的问题。优点：程序设计简单，收敛性好。

第二类方法：物理概念清晰，灵活且通用。能有效克服第一类方法的局限性。第25页，课件共40页，创作于2023年2月1-8有限元数学原理与发展（续）有限元法的分类分类一（选择基本位置量不同）：

位移法：取结点位移作为基本位置量；（常用）

力法：取结点力作为基本未知量；

混合法：取一部分结点位移和一部分结点力作为基本未知量。分类二（推导方法不同）：

直接法（代表：结构力学中的矩阵位移法）

加权余量法（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、

Galerkin法）

变分法（Ritz法、分片Ritz法即形函数法）第26页，课件共40页，创作于2023年2月1-8有限元数学原理与发展（续）有限元法的发展1943年，Gourant分片插值＋最小势能原理分析St.Venant扭转问题。1956年，Turner,Clough,Martin,Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1954-1955年，Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。第27页，课件共40页，创作于2023年2月1-8有限元数学原理与发展（续）目前应用较多的通用有限元软件

软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件

另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。

第28页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组：域可以是体积域、面积域等。同时未知函数u还应满足边界条件：是域的边界。第29页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式由于微分方程组（1-9-1）在域中每一点都必须为零，因此有：其中，

V是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。第30页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式同理，假如边界条件（1-9-2）在边界上每一点都得到满足，则，对于一组任意函数应当成立：

合并式(1-9-3)和(1-9-4)，得微分方程的等效积分形式为：以上方程对于所有的V和都成立，等价于微分方程(1-9-1)和边界条件(1-9-2)。第31页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）等效积分的“弱”形式

在上述等效积分式(1-9-5)中，未知函数u在积分中将以导数或偏导数的形式出现，它的选择将取决于微分算子A或B中微分运算的最高阶次。一个函数在域内，它的零阶导数（即其函数本身）至它的n-1阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点但在域内可积，这样的函数我们称之为具有Cn-1连续性的函数。在很多情况下可对式(1-9-5)进行分部积分，得到等效积分的“弱”形式：其中，C、D、E、F是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较(1-9-1)式中的A低，这样对函数u只需要较低阶次的连续性就可以了。该“弱形式”在板壳的有限元分析中意义重大，导致了非协调元、广义协调元的产生。这一弱处理往往能得到更为精确的分析结果。第32页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）基于等效积分形式的近似方法：加权余量法将未知场函数u取为近似函数，近似函数是一族带有确定参数的已知函数，一般形式为：例如，当未知函数u为位移时，可取近似解：则有：第33页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）基于等效积分形式的近似方法：加权余量法显然，在通常n取有限项数的情况下，微分方程和边界条件将产生残差：用n个规定的函数（权函数）来代替任意函数V及：则有近似的等效积分形式：

或余量的形式：式(1-9-10)和式(1-9-11)的意义是通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意义上等于零。第34页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）等效积分“弱”形式的加权余量近似公式

第35页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）配点法子域法在n个子域内，，在子域外，：最小二乘法即，使函数取最小值：力矩法

一维问题时，取

得

第36页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）伽辽金（Galerkin）法在域内：在边界上：即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。得：

近似解由于是完全任意的，所以可重写为对于等效积分的“弱”形式，有第37页，课件共40页，创作于2023年2月1-9微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）在很多情况下，采用Galerkin法得到的求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地都采用Galerkin法