【解析】【解析】浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2022学年九年级上学期数学期中考试试卷

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浙江省金华市义乌市绣湖中学教育集团2023-2022学年九年级上学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023九上·义乌期中）已知，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】求比值

【解析】【解答】解：∵，

∴设a=5k，b=3k，

∴.

故答案为：B.

【分析】由已知条件可设a=5k，b=3k，然后代入中化简即可.

2．（2023九上·义乌期中）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上

C．点P在⊙O外D．点P与圆心O重合

【答案】A

【知识点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，而4＜5，

∴点P在⊙O内.

故答案为：A.

【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径而r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，据此解答.

3．【答案】D

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题

【解析】【解答】解：当x=0时，y＝2，

∴抛物线与y轴的交点为：（0,2）;

故答案为：D.

【分析】求抛物线与y轴交点的坐标，即设x=0，求y值，即可得出答案.

4．【答案】B

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：∵AO＝BO，

∴∠OAB＝∠ABO＝50°，

∴∠AOB＝80°，

∴∠ACB＝40°.

故答案为：B.

【分析】由等腰三角形的性质可得∠OAB＝∠ABO＝50°，利用内角和定理可得∠AOB＝80°，然后根据圆周角定理进行求解.

5．【答案】A

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：因为女生与男生的人数比为3：2，所以总数是3+2=5份，

所以该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为．

故选A．

【分析】求出男生与女生的份数，让女生份数除以学生的总份数解答即可．

6．【答案】D

【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，

∵∠CAD=20°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，

∵，

∴∠BCD=∠BAD=40°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°.

故答案为：D.

【分析】由等边三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，则∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，由圆周角定理可得∠BCD=∠BAD=40°，然后根据∠ACD=∠ACB+∠BCD进行计算.

7．【答案】D

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：，

故答案为：D.

【分析】易证△AED∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行求解.

8．【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：设另一个三角形的最长边为，

∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，

∴，

解得，

即另一个三角形的最长边为.

故答案为：A.

【分析】设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.

9．【答案】A

【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；线段的中点；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB

∵在中，，点G是DE的中点，

∴AG=DG=EG

又∵AG=FG

∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径

∴∠DFE=90°

∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，

∴CF=BF=，FN=FM=

又∵FN⊥AC，FM⊥AB，

∴四边形NAMF是正方形

∴AN=AM=FN=

又∵，

∴

∴△NFD≌△MFE

∴ME=DN=AN-AD=

∴AE=AM+ME=3

∴在Rt△DAE中，DE=

故答案为：A.

【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得AG=DG=EG，由中点的概念可得CF=BF=，FN=FM=，推出四边形NAMF是正方形，得到AN=AM=FN=，证明△NFD≌△MFE，得到ME=DN=AN-AD=，则AE=3，接下来在Rt△DAE中，由勾股定理求解即可.

10．【答案】B

【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象

【解析】【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，

，

∴

∴abc＞0，

故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，

∴，

∴b=-2a，

当x=-2时，y=4a-2b+c=0，

∴4a+4a+c=0，

∴8a+c=0，

故②错误；

③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，

∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，

故③正确；

④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，

在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，

即，

∵8a+c=0，

∴c=-8a，

∵b=-2a，

∴，

解得：，

故④正确；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），

∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4）

若方程a（x+2）（4-x）=-2，

即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，

则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，

∵x1＜x2，

∴x1＜-2＜4＜x2，

故⑤错误；

故答案为：B.

【分析】根据开口方向可知a＞0，由图象与y轴的交点位置可得c＜0，根据对称轴可得b<0，据此判断①；由对称轴可得b=-2a，根据x=-2对应的函数值为0可判断②；根据对称性可得x1+x2=2，据此不难判断③；由题意可知：≤-3，结合8a+c=0可求出a的范围，据此判断④；易知抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），则y=a(x+2)(x-4)，由题意可得x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，据此判断⑤.

11．【答案】

【知识点】频数与频率

【解析】【解答】解：根据题意，该显示屏每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，

即每5分钟中显示火车班次信息一分钟；

根据概率的计算方法，可得某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率为.

故答案为：.

【分析】根据题意，分析可得该显示屏每5分钟中显示火车班次信息一分钟，由概率的计算公式可得答案.

12．【答案】

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】∵b是a、c的比例中项，

∴b2＝ac，

即b2＝48，

∴b＝4或﹣4（负数舍去）.

故答案为：4.

【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b.

13．【答案】k＞1

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：二次函数y=kx2-2x+1的图象与x轴无交点，

∴一元二次方程kx2-2x+1=0无实数根，

∵，，，

∴＜0，且，

解得k＞1.

故答案为：k＞1.

【分析】根据题意可得△＜0，且k≠0，代入求解即可得到k的范围.

14．【答案】15o或75o

【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：如图，

当点P在点B的左侧时，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，

∵CA=CP1，

∴∠CP1A=∠CAP1=（180°-70°）÷2=55°，

∴∠BAP1=∠CAP1-∠BAC=55°-40°=15°；

当点P在点B的右侧时，

∵CA=CP2，

∴∠CP2A=∠CAP2，

∵∠ACB=∠CP2A+∠CAP2=70°，

∴∠CAP2=35°，

∴∠BAP2=∠CAP2+∠BAC=35°+40°=75°；

∴∠BAP的度数是15°或75°.

故答案为：15°或75°.

【分析】分情况讨论：当点P在点B的左侧时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC=∠ACB=70°，从而可求出∠CAP1的度数；然后根据∠BAP1=∠CAP1-∠BAC，代入计算可求出∠BAP1的值；当点P在点B的右侧时，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求出∠CAP2的度数；再根据∠BAP2=∠CAP2+∠BAC，代入计算可求解.

15．【答案】﹣＜a＜

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：由题意可知：

∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），

∴线段AB的解析式为y＝4.

机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动.

抛物线对称轴方程为：x＝2，

机器人在运动过程中只触发一次报警，

所以抛物线与线段y＝4只有一个交点.

所以抛物线经过点A下方.

∴﹣5a＜4

解得a＞﹣.

4＝ax2﹣4ax﹣5a，

△＝0

即36a2+16a＝0，

解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝.

当抛物线恰好经过点B时，

即当x＝6，y＝4时，

36a﹣24a﹣5a＝4，

解得a＝

综上：a的取值范围是﹣＜a＜

故答案为：﹣＜a＜.

【分析】易得线段AB的解析式为y＝4，由题意可得抛物线与线段y＝4只有一个交点，则抛物线经过点A下方，此时-5a＜4，求出a的范围，根据△＝0可得a的值；将点B坐标代入抛物线解析式中可得a的值，据此不难得到a的范围.

16．【答案】；（1+）π﹣1﹣

【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H.

Rt△ABH中，BH＝ABsin30°＝1，AH＝BH＝，

在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，

∴CH＝BH＝1，

∴AC＝CA′＝1+，

当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，

设CA′交AB的延长线于K.

在Rt△ACK中，CK＝ACsin30°＝，

∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝.

如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××（1+）×1＝（1+）π﹣1﹣.

故答案为：，（1+）π﹣1﹣.

【分析】过点B作BH⊥AC于H，易得BH＝1，AH=，CH＝BH＝1，AC＝CA′＝1+，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，设CA′交AB的延长线于K，根据三角函数的概念求出CK，进而得到A′K；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA-2S△ABC，然后结合扇形、三角形的面积公式进行计算.

17．【答案】（1）解：，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，

.

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）易证△ADE∽△ABC，结合AD=2BD以及相似三角形的性质可得周长比，据此求解；

（2）由相似三角形的性质可得，则，据此求解.

18．【答案】（1）解：P==；

（2）解：如图，画树状图如下，

共有9种等可能的结果，其中第二次指在B区域，第二次指在A区域的有B1A和B2A两种情况，

∴P=.

【知识点】几何概率；列表法与树状图法；概率的简单应用

【解析】【分析】（1）A区域为120°，可得B区域为240°，结合圆周为360°，利用概率公式计算即可；

（2）把圆周分成三等分，根据题意画出树状图，找出符合条件的结果数，再求概率即可.

19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形；

（2）解：建立平面直角坐标系如图所示，；

（3）解：根据勾股定理得：，

.

【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理；作图﹣旋转

【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B绕原点O顺时针旋转90°的对应点A1、B1，然后顺次连接；

（2）根据点A、B的坐标可建立直角坐标系，进而可得点A1的坐标；

（3）根据勾股定理求出OA，然后借助三角形的面积公式进行计算即可.

20．【答案】（1）解：如图，连接BD，

∵∠ACD＝30°，

∴∠B＝∠ACD＝30°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；

（2）解：∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，

∴AD＝AB＝2，

∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，

∴EF＝DE＝ADsin60°＝，

∴DF＝2DE＝．

【知识点】圆周角定理；解直角三角形

【解析】【分析】(1)连接BD，根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°，，进而可得结论；

(2)根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD的长，再根据垂径定理和特殊角三角函数值可得EF=DE的值，进而可求DF的值。

21．【答案】（1）解：设y＝kx+b，

∵当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.

∴，

解得：k＝﹣2，b＝200，

∴y＝﹣2x+200，

∵球衣进价为30元，销售单价不高于每件60元，

∴30≤x≤60，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）解：由题意得：W＝（x﹣30）y﹣450

＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450

＝﹣2x2+260x﹣6450，

∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+260x﹣6450；

（3）解：W＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，

∵﹣2＜0，

∴抛物线的开口向下，

∵对称轴为直线x＝65，

∴当x＜65时，W随x的增大而增大，

又∵30≤x≤60，

∴当x＝60时，W有最大值，最大值为1950，

答：当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，最大值为1950元.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题

【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将x＝60，y＝80；x＝50，y＝100代入求出k、b，进而可得函数解析式，由题意可得30≤x≤60，据此解答；

（2）由题意得：W＝(x-30)y-450，将（1）中的关系式代入化简即可；

（3）将（2）的解析式化为顶点式，然后结合二次函数的性质进行解答.

22．【答案】（1）解：对于，令x=0，则y=3，故点A（0，3），

令，解得x=0或6，故点B（6，3），

故AB=6；

（2）解：设P（，），

∵∠APQ=∠B，∠AHP=∠OAB=90°，

∴△ABO～△HPA，故，

∴，

解得m=4.

∴P（4，11）；

（3）解：当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，

则2（AO+HQ）=PH，

∵HQ∥OA，

∴，即，

∴HQ=，

∴，

解得：m1=4，m2=3，

∴P（4，11）或P（3，12）.

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）令x=0，求出y，可得A（0，3），令y=3，求出x，可得B（6，3），据此不难求出AB的长；

（2）设P（m，-m2+6m+3），证明△ABO～△HPA，由相似三角形的性质求出m，据此可得点P的坐标；

（3）由题意可得2(AO+HQ)=PH，由HQ∥OA结合平行线分线段成比例的性质可得HQ，据此求出m，进而可得点P的坐标.

23．【答案】（1）解：∵对角线平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是四边形的“相似对角线”；

（2）解：如下图所示：

∵∠ABC=∠ACD1=90°，

，

∴△ABC∽△ACD1，

故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，

同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；

（3）解：如图，作于，于，

∵点在射线：上，

∴，即，

∵对角线平分，

∴，

∵是四边形的“相似对角线”，

∴与相似且不全等，

∴，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴点的坐标为.

【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义

【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC=50°，由内角和定理可得∠BDC+∠C=130°，由角的和差关系可得∠ADB+∠BDC=130°，推出∠ADB=∠C，证明△BAD∽△BDC，据此证明；

（2）易证△ABC∽△ACD1，故以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；

（3）作AM⊥OB于M，CN⊥OB于N，由题意可得∠AOB=60°，根据角平分线的概念可得∠AOC=∠COB=30°，易得△AOC∽△COB，由相似三角形的性质可得OA·OB=OC2，由△AOB的面积可得OC，进而求出CN、ON，据此可得点C的坐标.

24．【答案】（1）解：把点的坐标分别代入，

得