2022-2023学年河南省南阳市镇平县八年级（下）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年河南省南阳市镇平县八年级（下）期末数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．下列分式中，有意义的条件为x≠2的是（）A． B． C． D．2．原绿球藻是目前人类知道的“地球上体型最小的光合自养生物”，是直径约为500～700nm的单细胞生物，其中1nm＝1×10﹣9m，则700nm用科学记数法可表示为（）A．0.7×10﹣9m B．7×10﹣7m C．7×10﹣9m D．7×10﹣11m3．若一次函数y＝（m﹣2）x+m+1的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣14．下列叙述错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的面积等于两条对角线积的一半5．小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：cm），他将得到的数进行分析并列出方差公式为S2＝×[（50﹣）2×2+（60﹣）2×3+（70﹣）2×2]，则组数据的平均数与众数分别（）A．60，50 B．60，60 C．70，60 D．70，706．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（）A．65 B．120 C．130 D．2407．有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（）A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m8．定义新运算：，则对于函数y＝x⊕2，下列说法正确的是（（）A．当x＜0时，y随x增大而增大 B．该函数图象经过点（2，1） C．该函数图象位于第一、三象限 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣2＜y＜﹣19．如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，点E在x轴上，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（）A．（﹣1， B．（1，﹣） C．（） D．（﹣1，﹣）10．如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（）A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm二.填空题：（每小题3分，共15分）11．请写出一个经过点（0，1），且y随x的增大而增大的一次函数的表达式．12．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则②号箭头处可以添加的条件是（写出一种即可）．13．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识点20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识80分，创新设计90分，现场展示95分，那么该同学的综合成绩是分．14．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，连接AC、BC，则S△ABC＝．15．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，F为边AD上一点且AF＝3，E为边AB上一点，把△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，若△BA′E为直角三角形，则AE的长为．三.解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（1）计算：；（2）化简：÷．17．在许昌，有很多大学生成为职业农民，他们被称为“新农人”．其中有不少人凭借自己的专业知识，做出了一番成就，小张就是一名90后“新农人”，今年他带领乡亲种植了甲、乙两个新品种的西瓜．为了了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝，b＝；（2）从折线统计图看，种西瓜的品质较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）宋超认为甲种西瓜的品质较好些，李军认为乙种西瓜的品质较好些，请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．18．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数的图象经过点C．（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．19．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图．①在直线l上任取两点A，B；②以点P为圆心，AB长为半径作弧，以点B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l上方相交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ就是所求作的直线．请按要求解答下列问题：（1）请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）完成下面的证明．证明：∵BQ＝AP，PQ＝AB，∴四边形PABQ是平行四边形（）（填写推理的依据）∴PQ∥AB（）（填写推理的依据）．即PQ∥l．（3）若PA⊥l，可知四边形PABQ是矩形（）（填写推理的依据）．20．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可看作是由△ADE绕点A顺时针旋转度得到的；（3）①若∠DAE＝20°，则∠EFC的度数为；②若BC＝4，DE＝3，求△AEF的面积．21．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？22．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于第二象限内的点A（﹣4，2）和B（﹣2，m），与x轴交于点C．（1）分别求出这两个函数的表达式．（2）不等式k1x+b≤的解集是．（3）在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：①图1中四边形ABCD的形状是；②图2中AA′与CC′的数量关系是；四边形ABC′D′的形状是；（2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探究，已知三角板AB边长为8cm，过程如下：将三角板ACD按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长．（说明：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）（3）拓展应用在（2）的探究过程中：当△BCC′为直角三角形时，请直接写出CC'的长为．

参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）1．下列分式中，有意义的条件为x≠2的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可．解：A、∵有意义，∴2x﹣4≠0，解得x≠2，符合题意；B、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；C、∵有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；D、∵有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．2．原绿球藻是目前人类知道的“地球上体型最小的光合自养生物”，是直径约为500～700nm的单细胞生物，其中1nm＝1×10﹣9m，则700nm用科学记数法可表示为（）A．0.7×10﹣9m B．7×10﹣7m C．7×10﹣9m D．7×10﹣11m【分析】利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：∵1nm＝1×10﹣9m，∴700nm＝700×10﹣9m＝7×10﹣7m．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．3．若一次函数y＝（m﹣2）x+m+1的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1【分析】根据一次函数的图象可知m﹣2＜0，m+1＞0，解不等式组即可．解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+m+1的图象经过一、二、四象限，∴m﹣2＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜2，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．4．下列叙述错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的面积等于两条对角线积的一半【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质解答即可．解：A．平行四边形的对角线互相平分，正确，故不符合题意；B．菱形是中心对称图形，正确，故不符合题意；C．矩形的对角线互相垂直，不正确，故符合题意；D．正方形的面积等于两条对角线积的一半，正确，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．5．小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：cm），他将得到的数进行分析并列出方差公式为S2＝×[（50﹣）2×2+（60﹣）2×3+（70﹣）2×2]，则组数据的平均数与众数分别（）A．60，50 B．60，60 C．70，60 D．70，70【分析】先根据方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70，再利用平均数和众数的概念求解即可．解：由方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70，∴这组数据的平均数为＝60，众数是60．故选：B．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、中位数和众数的定义．6．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（）A．65 B．120 C．130 D．240【分析】根据作图可得四边形AOCB是菱形，勾股定理，求得OC的长，进而根据菱形的面积公式即可求解．解：根据作图可得OA＝AC＝OB＝BC，∴四边形AOCB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD，OD＝OC，∵AB＝10，OA＝13，如图所示，设AB，OC交于点D，∴，在Rt△AOD中，，∴OC＝2OD＝24，∴四边形AOCB的面积，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．7．有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若▄，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（）A．甲队每天修路比乙队2倍还多30m B．甲队每天修路比乙队2倍还少30m C．乙队每天修路比甲队2倍还多30m D．乙队每天修路比甲队2倍还少30m【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决．解：由图表可得方程：，故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30m，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件．8．定义新运算：，则对于函数y＝x⊕2，下列说法正确的是（（）A．当x＜0时，y随x增大而增大 B．该函数图象经过点（2，1） C．该函数图象位于第一、三象限 D．当﹣2＜x＜﹣1时，﹣2＜y＜﹣1【分析】根据新运算“⊕”的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．解：∵，∴y＝x⊕2＝﹣，A．当x＜0时，y随x增大而增大，说法正确，故本选项符合题意；B．当x＝2时，y＝﹣1，原说法错误，故本选项不符合题意；C．该函数图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意；D．当﹣2＜x＜﹣1时，1＜y＜2，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．9．如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，点E在x轴上，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（）A．（﹣1， B．（1，﹣） C．（） D．（﹣1，﹣）【分析】先求出点F3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，即可得出答案．解：∵360°÷90°＝4，∴每旋转4次为一个循环，∴2023÷4＝505⋯⋯3，即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，F3的位置如图所示，过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3，由旋转的性质得：△AOF≌△MF3O，∵点B（1，0），∴OB＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝1，∴AB＝OA＝，∵四边形ABEF是菱形，∴AF＝AB＝，∵△AOF≌△MF3O，∴MF3＝OA＝1，OM＝AF＝，∴点F3的坐标为（1，﹣），∴点F2023的坐标为（1，﹣）．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质以及规律型等知识，熟练掌握联系单性质和旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．10．如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（）A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的长度即可解答．解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不符合题意；由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B不符合题意：由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为10﹣2＝8cm，故选C不符合题意；由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm时，此时弹簧的长度为10﹣6＝4（cm），故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，用数形结合的思想解决问题．二.填空题：（每小题3分，共15分）11．请写出一个经过点（0，1），且y随x的增大而增大的一次函数的表达式y＝x+1（答案不唯一）．【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把（0，1）代入求出b的值，根据y随x的增大而增大确定出k的取值范围，进而可得出结论．解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵函数经过点（0，1），∴b＝1，∵一次函数的函数值y随自变量x增大而增大，∴k＞0，∴符合要求的一次函数的表达式可以是y＝x+1，故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．12．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则②号箭头处可以添加的条件是有一个角为直角（答案不唯一）（写出一种即可）．【分析】根据矩形的判定即可得出答案．解：∵有一个角为直角的平行四边形是矩形，∴需要添加的条件是：有一个角为直角；又∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴需要添加的条件是：对角线相等．故答案为：有一个角为直角（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握矩形的判定．13．学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识点20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识80分，创新设计90分，现场展示95分，那么该同学的综合成绩是89.5分．【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．解：80×20%+90×50%+95×30%＝89.5（分），故答案为：89.5．【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．14．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C在y轴上，连接AC、BC，则S△ABC＝4．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝4，再根据平行线间的距离处处相等和三角形的面积公式得出S△ABC＝S△AOB＝4即可．解：如图，连接OA，∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A向x轴作垂线，垂足为B，∴S△AOB＝|k|＝×8＝4，又∵OC∥AB，∴S△ABC＝S△AOB＝4，故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线的性质以及三角形面积的计算，掌握平行线的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．15．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，F为边AD上一点且AF＝3，E为边AB上一点，把△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，若△BA′E为直角三角形，则AE的长为3或．【分析】分∠A′EB＝90°，∠EA′B＝90°，∠A′BE＝90°三种情况讨论解答即可，解：△BA′E为直角三角形，有三种情况：∠A′EB＝90°，∠EA′B＝90°，∠A′BE＝90°．（1）当∠A′EB＝90°时，如图，则∠A′EA＝90°，∵△A′EF是△AEF折叠得到的，∴∠A′EF＝∠AEF＝45°，∵∠A＝90°，∴∠AFE＝45°，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝3；（2）当∠EA′B＝90°时，如图，∵△A′EF是△AEF折叠得到的，∴∠EA′F＝∠A＝90°，A′F＝AF＝3，A′E＝AE，∴∠EA′B+∠EA′F＝180°，∴点A′在BF上，在Rt△BFA中，由勾股定理，得BF＝，∴A′B＝BF﹣A′F＝5﹣3＝2，设AE＝x，则A′E＝x，BE＝AB﹣AE＝4﹣x，在Rt△BEA′中，由勾股定理，得A′B2+A′E2＝BE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴AE＝；（3）当∠A′BE＝90°时，∵E为边AB上一点，∴此时点A′应在BC上，∴FA′≥CD＞AF，这与折叠时FA′＝FA矛盾，∴此种情况不存在，综上所述，AE＝3或．故答案为：3或．【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．三.解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（1）计算：；（2）化简：÷．【分析】（1）先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；（2）先算除法，再算减法即可．解：（1）原式＝3﹣4﹣1＝﹣2；（2）原式＝﹣•＝﹣•（a﹣1）＝﹣＝＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，涉及到零指数幂及负整数指数幂的运算法则，实数的运算等知识，熟知以上知识是解题的关键．17．在许昌，有很多大学生成为职业农民，他们被称为“新农人”．其中有不少人凭借自己的专业知识，做出了一番成就，小张就是一名90后“新农人”，今年他带领乡亲种植了甲、乙两个新品种的西瓜．为了了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b（1）a＝88，b＝90；（2）从折线统计图看，乙种西瓜的品质较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）宋超认为甲种西瓜的品质较好些，李军认为乙种西瓜的品质较好些，请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；（3）从中位数、众数的比较得出答案．解：（1）将甲种西瓜的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即a＝88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b＝90，故答案为：88，90；（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．【点评】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．18．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数的图象经过点C．（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．【分析】（1）利用△ABO≌△BCD（ASA）可推算出点C的坐标，待定系数法解出反比例函数解析式；（2）设点P的坐标为（m，），利用面积是9建立关于m的方程解出m值即可．解：（1）根据条件可知△ABO≌△BCD（ASA），∴CD＝OB＝3，BD＝AO＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∴C（3，1）．∵C（3，1）在y＝上，k＝3，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）设点P的坐标为（m，），∵S△PCD＝×CD×‖m﹣1‖＝9，∴×‖m﹣1‖＝9，‖m﹣1‖＝6，m1＝7，m2＝﹣5，∴这样的P点坐标为（7，）或（﹣5，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．19．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图．①在直线l上任取两点A，B；②以点P为圆心，AB长为半径作弧，以点B为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线l上方相交于点Q；③作直线PQ．则直线PQ就是所求作的直线．请按要求解答下列问题：（1）请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）完成下面的证明．证明：∵BQ＝AP，PQ＝AB，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）（填写推理的依据）∴PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）（填写推理的依据）．即PQ∥l．（3）若PA⊥l，可知四边形PABQ是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（填写推理的依据）．【分析】（1）根据几何语言画出定义的几何图形即可；（2）先根据平行四边形的判定方法判断四边形PABQ是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到结论．【解答】（1）解：如图，PQ为所作；（2）证明：∵BQ＝AP，PQ＝AB，∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形为平行四边形），∴PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行），即PQ∥l．故答案为：两组对边分别相等的四边形为平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行；（3）若PA⊥l，可知四边形PABQ是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．20．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可看作是由△ADE绕点A顺时针旋转90度得到的；（3）①若∠DAE＝20°，则∠EFC的度数为25°；②若BC＝4，DE＝3，求△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF＝∠DAE，则∠BAF+∠BAE＝90°，即∠FAE＝90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）①先利用勾股定理可计算出AE＝10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到AE＝AF，∠EAF＝90°，得出∠AFE＝45°，即可得出∠EFC，②然后根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，∴∠BAF＝∠DAE，而∠DAE+∠EAB＝90°，∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠FAE＝90°，∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；故答案为：90；（3）解：①∵BC＝8，∴AD＝8，在Rt△ADE中，DE＝3，AD＝4，∴AE＝＝5，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠AFE＝45°，∵∠BAF＝∠DAE＝20°，∴∠AFB＝70°，∴∠EFC＝70°﹣45°＝25°，故答案为：25°；②△AEF的面积＝AE2＝×25＝12.5．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．21．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？【分析】（1）设甲规格吉祥物每套x元，用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，根据购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定总费用最少时的购买方案．解：（1）设甲规格吉祥物每套x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原方程的根，且符合题意，70+20＝90（元），答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，根据题意，得30﹣m≤2m，解得m≥10，m为正整数，w＝90m+70（30﹣m）＝20m+2100，∵20＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝10时，w取得最小值，此时乙规格购买10套，甲规格购买20套，答：乙规格购买10套，甲规格购买20套，总费用最少．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意建立相应的关系式是解题的关键．22．如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于第二象限内的点A（﹣4，2）和B（﹣2，m），与x轴交于点C．（1）分别求出这两个函数的表达式．（2）不等式k1x+b≤的解集是x＜﹣4或﹣2＜x＜0．（3）在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A，点B代入解析式，即可求解；（2）结合图象可求解；（3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于第二象限内的点A（﹣4，2）和B（﹣2，m），∴，∴，∴一次函数y1＝x+6，反比例函数y2＝；（2）由图象可得：当x＜﹣4或﹣2＜x＜0时，k1x+b≤，故答案为：x＜﹣4或﹣2＜x＜0；（3）∵一次函数y1＝x+6与x轴交于点C，∴点C（﹣6，0），设点P（x，