江苏省南通市东方中学(东方中学)高二数学文期末试卷含解析

江苏省南通市东方中学(东方中学)高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个命题中正确命题的个数是(

)（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08(4)若实数，则满足的概率为.A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：A略2.△ABC中，A=，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为A．

B．3

C．

D．7参考答案：A3.若，则下列不等式不成立的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.△ABC的三边a，b，c成等差数列，则角B的范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】余弦定理；等差数列的通项公式．【分析】设出三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列，利用等差数列的性质可知2b等于a+c，利用余弦定理表示出cosB，然后把b等于a+c的一半代入，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到B的范围．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，由三边成等差数列可知：b=，由余弦定理得：cosB===≥=，当且仅当a=c时取等号，又B∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，所以B∈（0，]．故选：A．5.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（

）

A．若，则

B．若，则或

C．若，则

D．若，则或参考答案：A略6.已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A． B．C．

D．参考答案：D【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．7.已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①?β∈R，f（x+β）为奇函数；②?α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③?x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④?x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①② B．③④ C．②③ D．①④参考答案：C【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，）的解，判断②正确；由|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为=，判断③正确；当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=，判断④错误．【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k?=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．8.过坐标原点O作圆的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得弦|AB|的长度为A.

B.

C.

D.参考答案：B9.参数方程表示的曲线是（

）A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆参考答案：B10.复数z=+2i对应的点在（）A．第一象限内 B．实轴上 C．虚轴上 D．第四象限内参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z=+2i对应的点（，2）即可得出结论．【解答】解：复数z=+2i对应的点（，2）在第一象限．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β其中真命题的编号是

；（写出所有真命题的编号）参考答案：①、④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【解答】解：①为真命题，因n∥β，α∥β，所以在α内有n与平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②为假命题，α∥β，m⊥α?m⊥β，因为m⊥n，则可能n?β；③为假命题，因m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n?β且m?β；④为真命题，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因m∥n，则n⊥β；故答案是：①、④．【点评】本题考查了线面、面面垂直和平行的定理，来确定线线、线面垂直和平行的关系；是基础题．12.下列说法中，正确的有_______．①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据2×2列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果服从正态分布，则，则．参考答案：②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④.【详解】回归直线恒过点，但不一定要过样本点，故①错误；由，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；,，故④正确；故答案为：②④【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.13.如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的侧面与底面所成的（锐）二面角的大小为

参考答案：略14.在的展开式中，的系数是__________．参考答案：18015.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长． 参考答案：12【考点】抛物线的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，可得p，利用双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点，=，a2+b2=144，即可求出双曲线实轴长． 【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣， ∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切， ∴3+=15，∴p=24， ∵双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点是该抛物线的焦点， ∴=，a2+b2=144， ∴a=6，b=6， ∴2a=12， ∴双曲线实轴长为12． 故答案为：12． 【点评】本题考查双曲线实轴长，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题． 16.P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是

▲

参考答案：17.已知在等差数列中，与的等差中项为5，与的等差中项为7,则数列的通项公式=

参考答案：2n-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程。参考答案：

19.已知椭圆的离心率为，且经过点，若分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的值；（3）求四边形面积的最大值．参考答案：解：（1），（2）直线的方程分别为，.如图，设，其中，且满足方程，故………①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当且仅当即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．20.（本小题满分12分）求证：32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．参考答案：方法1：二项式定理证明：32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=（8+1）n+1-8n–9

………4分=8n+1＋·8n＋…＋·82＋·8＋-8n-9=82（8n-1+8n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9

………8分=64（8n-1+8n-2+…+）

………10分∵8n-1+8n-2+…+∈Z，∴32n+2-8n–9能被64整除．

………12分方法2：数学归纳法（1）当n=1时，式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．……2分（2）假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．

………4分当n=k+1时，32k+4-8（k＋1）-9=9[32k+2-8k-9]＋64k＋64＝9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）

………8分因为32k+2-8k-9能够被64整除，∴9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．

……10分即当n=k+1时，命题也成立．由（1）（2）可知，32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．………12分略21.已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函