湖南省益阳市高平中学2021年高三数学理期末试题含解析

湖南省益阳市高平中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A}，且a≠b，则B的子集的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．15参考答案：A【考点】集合中元素个数的最值．【专题】计算题．【分析】由题意求出集合B，然后求出集合B的子集个数即可．【解答】解：因为集合A={0，2，3}，B={x|x=ab，a，b∈A，a≠b}={0，6}，它的子集有：?；（0）；{6}；{0，6}．共有4个．故选A．【点评】本题考查集合的子集的求出，集合的基本运算，考查计算能力．2.已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的

[答](

)（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若四点不共面，则直线和不共面，所以和不相交。若直线和不相交，和平行时，四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件，选A.3.如图，△与△都是边长为2的正三角形，平面⊥平面，⊥平面，，则点到平面的距离为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.设集合M={x|x2+2x﹣15＜0}，N={x|x2+6x﹣7≥0}，则M∩N=（）A．（﹣5，1] B．[1，3） C．[﹣7，3） D．（﹣5，3）参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+5）＜0，解得：﹣5＜x＜3，即M=（﹣5，3），由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+7）≥0，解得：x≤﹣7或x≥1，即N=（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞），则M∩N=[1，3），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为（

） A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A略6.如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是（

）A．9

B．3

C．

D．参考答案：C略7.集合M=N=M,N均为的子集，MN的“长度”（的长度为）的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.设，则有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.复数z满足（3﹣2i）?z=4+3i，则复平面内表示复数z的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】由（3﹣2i）?z=4+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（3﹣2i）?z=4+3i，得，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．10.已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（

）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线方程为____

__；参考答案：12.若实数x，y满足条件，则z=3x﹣4y的最大值是．参考答案：﹣1【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，当经过点A时，直线的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时最大值z=3×1﹣4×1=﹣1，故答案为：﹣113.（6分）（2015?丽水一模）设圆C的圆心是抛物线y=x2的焦点，且与直线3x+4y+6=0相切．则抛物线的准线方程是；圆C的方程是．参考答案：y=﹣1；x2+（y﹣1）2=4。【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：抛物线y=x2，即x2=4y，可得准线方程、焦点，求出圆心（0，1）到直线3x+4y+6=0的距离，即可得出结论．解：抛物线y=x2，即x2=4y，准线方程是y=﹣1，焦点为（0，1）；圆心（0，1）到直线3x+4y+6=0的距离为d==2，∴圆C的方程是x2+（y﹣1）2=4；故答案为：x2+（y﹣1）2=4【点评】：本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.已知，则的值等于_____。

参考答案：15.已知，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=_______。参考答案：16.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

参考答案：略17.(几何证明)如图,是圆的切线,切点为,

点、在圆上，，

则圆的面积为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数，其中e为自然对数的底数

(I)当a=-1时，若不等式恒成立，求实数k的最大值；

(Ⅱ)若方程没有实数根，求实数a的取值范围参考答案：【知识点】函数恒成立问题

B9

B11(I)(II)﹣e2＜a＜0解析：（1）由题意得，﹣x+1≥kex恒成立，即k≤恒成立；令F（x）=，则F′（x）=；故F（x）=在（﹣∞，2）上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，故F（x）≥F（2）=﹣e﹣2；故实数k的最大值为﹣e﹣2；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象没有交点；作g（x）=ex与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象如右图，设g（x）=ex与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）相切于点（x，ex）；则ex=，解得x=2；则结合图象可知，故0＜﹣a＜e2；故﹣e2＜a＜0．【思路点拨】（1）不等式f（x）≥kg（x）恒成立可化为k≤恒成立；令F（x）=，求导确定函数的最小值，从而求实数k的最大值；（2）方程f（x）+g（x）=0没有实数根可化为g（x）=ex的图象与y=﹣f（x）=﹣a（x﹣1）的图象没有交点；结合图象求实数a的取值范围．19.已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若在处取得极大值，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=2时，若函数有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）参考答案：（Ⅰ）－2；（Ⅱ）(－∞,－1)；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）对函数求导，由点处的切线与轴平行可得，即可求出实数；（Ⅱ）对函数求导可得，令导数等于零，解得，，分类讨论与的大小，即可求出实数的范围，使得在处取得极大值；（Ⅲ）对求导，分别讨论大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极值的正负，即可求出使函数有3个零点时，的取值范围。【详解】（Ⅰ）函数的定义域为．．因为曲线在点处的切线与x轴平行，所以，解得．此时，所以的值为．（Ⅱ）因为，①若，则当时，，所以；当时，，所以．所以在处取得极大值．②若，则当时，，所以．所以不是的极大值点．综上可知，的取值范围为．（Ⅲ）当时，，，当时，函数，不可能3个零点；①当时，令，解得：，令，得，则在区间上单调递增；令，解得：或，则在区间和上单调递减；由于当时，恒成立，，，则当时，恒成立，所以函数最多只有两个零点，即不满足题意；②当时，令，解得：，令，得：或，则在区间和上单调递增；令，解得：，则在区间上单调递减；要使函数有3个零点，则，解得：综上所述的取值范围为．20.（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程

（1）若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

（2）若，求方程没有实根的概率。参考答案：略21.（13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n2﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n﹣1a万元．（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn万元，求an，bn的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．参考答案：考点： 数列与函数的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），从而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．解答： 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，则n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2时，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，显然n=1也适合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．当n≥4时，令an＞bn，则（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1]an﹣1＞6﹣4?（）n﹣1．即n＞7﹣4?（）n﹣1．又当n≥7时，0＜4?（）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4?（）n﹣1．即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购．点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．22.（满分12分）设