湖南省株洲市醴陵南桥镇联校2021年高三数学理测试题含解析

湖南省株洲市醴陵南桥镇联校2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以长度为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常数e，∴1≤x≤e，∴所求概率为=1﹣，故选B．【点评】本题考查概率的计算，考查分段函数，确定以长度为测度是关键．2.若非空集合A={x|},则能使,成立的所有a的集合是 （）A． B． C． D．参考答案：B3.函数在点（x0，y0）处的切线方程，则等于A、－4

B、－2

C、2

D、4参考答案：D4.已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m，n]上的最大值为2，则m+n=(

) A． B． C．+ D．参考答案：D考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn=1，再f（x）在区间[m，n]上的最大值为2可得出f（m）=2求出m，故可得m+n的值．解答： 解：由对数函数的性质知∵f（x）=|log2x|正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴0＜m＜1＜n，以及mn=1，又函数在区间[m，n]上的最大值为2，由于f（m）=f（n），故可得f（m）=2，即|log2m|=2，即log2m=﹣2，即m=，可得n=4，则m+n=．故选D．点评：本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn=1及f（x）在区间[m，n]上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．5.已知实数a，b满足log2a+log2b=﹣2，则a+b的最小值为（）A．B．C．1D．4参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件求出ab关系式，然后求解表达式的最小值．【解答】解：实数a，b满足log2a+log2b=﹣2，可得ab=，a+b≥2=1，当且仅当a=b=时取得最小值．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6.已知实数满足的约束条件则的最大值为（）A．

20

B．

24

C．

16

D．

12参考答案：B7.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84参考答案：A【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1﹣P（ξ≤4）．【解答】解：由P（ξ≤4）=P（ξ﹣2≤2）=P=0.84．又P（ξ≤0）=P（ξ﹣2≤﹣2）=P=0.16．故选A．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．8.在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量mn，若向量m⊥n，则角A的大小为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B；m⊥nmn。9.若函数的图象如右图，其中a，b为常数，则函数的大致图象是参考答案：D10.已知两个集合，，则=A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足约束条件：；则的取值范围为

。参考答案：[-3,0]12.如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为2，110011，6，则输出的b＝

．参考答案：51依程序框图得．13.已知实数若x、y满足，则的最小值是______．参考答案：5【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】，所以，，，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.14.已知三棱锥P﹣ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为．参考答案：4【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，由正弦定理，求出r，再由勾股定理得R．【解答】解：设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，∵底面△ABC中，AB=AC=2，BC=6，∴cos∠BAC==﹣∴sin∠BAC=∴由正弦定理，得：2r==4，解得r=2，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理得R2=d2+（2）2=（2）2+（4﹣d）2，∴d=2，R=4，∴此三棱锥的外接球的半径为4．故答案为：4．15.已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为

▲

．

参考答案：16.已知直线与圆相交于，两点，且，则_________参考答案：17.若，则实数的取值范围是

。参考答案：原不等式等价为，即，所以，即，解得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费；若太少又难以满足乘客需求．南充市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：）组别候车时间人数一[0，5）2二[5，10）6三[10，15）4四[15，20）2五[20，25]1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好自不同组的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好自不同组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的概率为，所以候车时间少于10分钟的人数为人．…6分（2）将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2．从6人中任选两人包含一下基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）其中恰好自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为…12分【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，是统计与概率的简单综合应用，难度不大，属于基础题．19.

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品。表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图。表１：（甲流水线样本频数分布表）图１：（乙流水线样本频率分布直方图）（1）若检验员不小心将甲、乙两条流水线生产的重量值在（510，515］的产品放在了一起，然后又随机取出3件产品，求至少有一件是乙流水线生产的产品的概率．（2）由以上统计数据完成下面２×２列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．

甲流水线乙流水线合计合格品a=b=

不合格品c=d=

合计

n=

参考答案：解：（1）可知在（510，515]内产品甲有4件，乙有2件，甲4件编号为1，2，3，4，乙2件编号为a、b，则具有抽法有：123，124，12a，12b，134，13a、13b，14a，14b，234，23a，23b，24a，24b，34a，34b，4ab，1ab，2ab，3ab共20种∴至少有一件是乙流水线产品的概率-----------------6分

甲流水线

乙流水线

合计合格品303666不合格品10414合计404080（2）列联表如下：=

∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关-------------12分略20.（12分）某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品.（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？；

（2）质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格的概率多大？参考答案：考点分析：此题属于容易题，考查概率的计算

解：（1）在6听中随机抽出1听有6种方法

Ks5u

1分

在2听中随机抽出1听有2种方法

2分所以

4分答：

5分（2）设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6

6分则6听中选2听共有（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2，3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共15种

8分有1听不合格的有（1,5）（1,6）（2,5）（2,6）（3,5）（3，6）（4,5）（4,6）共8种

9分有2听不合格的有（5,6）

10分所以所求概率为

12分21.如图，椭圆E:(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，离心率，长轴与短轴的长度之和为10.(I)求椭圆E的标准方程；(II)在椭圆E上任取点P（与A、B两点不重合），直线PA交y轴于点C，直线PB交y轴于点D，证明：为定值。参考答案：（Ⅰ）由题可知，，解得.故椭圆E的标准方程为.

……………5分（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.……………7分因为，，所以得直线的方程为，令，则；直线的方程为，令，则所以，为定值.