高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1

高中数学人教A版必修一131单调性与最大-11.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性1.3函数的基本性质1．定义域为I的函数f(x)的增减性：自学导引1．定义域为I的函数f(x)的增减性：自学导引f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数2．如果函数y＝f(x)在区间D上是________或______，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有_______________，区间D叫做y＝f(x)的________．3．判断(证明)函数单调性的步骤增函数减函数(严格的)单调性单调区间2．如果函数y＝f(x)在区间D上是________或___1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？自主探究1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？自主探究2．如果函数在两个区间上都是单调的，在这两个区间的并集上是不是一定单调呢？2．如果函数在两个区间上都是单调的，在这两个区间的并集上是不1．函数y＝(x＋4)2的递减区间是(

)A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(4，＋∞) D．(－∞，4)【答案】A预习测评1．函数y＝(x＋4)2的递减区间是()预习测评【答案】C

【答案】C3．函数f(x)＝|x|的减区间是________．【答案】(－∞，0]4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调增区间为________．【答案】[1,4)和[4,6]3．函数f(x)＝|x|的减区间是________．1．对函数单调性概念的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．要点阐释1．对函数单调性概念的理解要点阐释(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．提醒

若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接．高中数学人教A版必修一131单调性与最大-12．判断函数单调性的常用方法(1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法．这种判断函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重视．(2)图象法：根据函数图象的升降情况进行判断．(3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．2．判断函数单调性的常用方法题型一利用图象求函数的单调区间【例1】

求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|.思路点拨：函数式中含有绝对值，因此先去掉绝对值符号，将函数式化为分段函数来求解．典例剖析题型一利用图象求函数的单调区间典例剖析高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1(2)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出f(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到y＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象，易得函数的递增区间是(－3，－1)，(1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，(－1,1]．(2)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1思路点拨：证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单因式乘积的形式．思路点拨：证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1高中数学人教A版必修一131单调性与最大-1题型三由函数的单调性求参数的取值范围【例3】

已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，求实数a的取值范围．思路点拨：在区间[1,2]单调，表示区间[1,2]在函数对称轴的同侧．题型三由函数的单调性求参数的取值范围解：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，图象如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和(a，＋∞)上分别单调，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上单调，只需a≤1或a≥2(其中当a≤1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增；当a≥2时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．解：函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直方法点评：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．方法点评：已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.∴实数a的取值范围为{a|a≤－3}．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，【例4】

若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．错解：函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.错因分析：错解中把单调区间误认为是在区间上单调．正解：因为函数的单调递减区间为(－∞，4]且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.答案：a＝－3误区解密因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念混淆而出错【例4】若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减纠错心得：单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．纠错心得：单调区间是一个整体概念，比如说函数