河北省承德市西庙宫中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

河北省承德市西庙宫中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在半径为R的圆周上任取A、B、C三点，试问三角形ABC为锐角三角形的概率（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B2.（5分）（2014秋?衡阳县校级月考）设a=cos，b=30.3，c=log53，则（）A．c＜b＜qB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a参考答案：C【考点】：对数值大小的比较．【专题】：计算题；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】：由题意，根据三角函数，对数及指数依次判断这三个数的大致范围，从而比较大小．解：∵＜＜，∴a=cos＜，b=30.3＞1，c=log53＞log5=，c=log53＜log55=1；故a＜c＜b，故选C．【点评】：本题考查了对数、指数与三角函数的值的大小比较，属于基础题．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．若点A,B的坐标分别为和，则的值为(A)

(B)

(C)0

(D)参考答案：A4.如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为，则主视图中三角形的高x的值为

(

)A. B. C.1 D.参考答案：C略5.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的倍，已知这座塔共有盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A． B． C． D．参考答案：A依题意，这是一个等比数列，公比为，前项和为，∴，解得．故选．6.直线的倾斜角α=（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：A【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A7.如图，阴影部分表示的集合是（

）

参考答案：D8.若P(2，-l)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略9.若，则下列说法正确的是（

）A.若则

B.若则C.若则

D.若则参考答案：C10.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为(

)（A） （B）（C） （D）参考答案：B还原为立体图形是半个圆锥，侧面展开图为扇形的一部分，计算易得。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某不法商人将手机按原价提高，然后在广告中“大酬宾，八折优惠”，结果每台手机比进货原价多赚了元，那么每台手机的原价为________元．参考答案：略12.已知向量=（1，﹣2），=（x，2），若∥，则实数x的值为

．参考答案：﹣1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用两个向量共线的性质列出方程求得x的值．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（x，2），当∥时，﹣2x﹣1×2=0，解得x=﹣1，所以实数x的值为﹣1．故答案为：﹣1．13.设变量满足约束条件：，则的最大值是

．参考答案：814.（5分）已知函数f（x）=，则f（f（10））的值为．参考答案：﹣2【考点】：对数的运算性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：根据分段函数的解析式及自变量的取值代入运算即可．解：f（10）=lg10=1，f（1）=12﹣3×1=﹣2，所以f（f（10））=f（1）=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】：本题考查分段函数求值、对数的运算性质，属基础题．15.若集合，则等于.参考答案：，，所以。16.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是

▲

.参考答案：17.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．参考答案：600三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a和b是任意非零实数．（1）求的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得

≥==4．（2）由题意可得|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，由于的最小值为4，故有x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集，解绝对值不等式求得实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵≥==4，故的最小值为4．（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，即|2+x|+|2﹣x|≤恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于的最小值．由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，∴的最小值等于4．∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]．19.（本小题满分15分）在中，角所对的边分别为，且满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）当取得最大值时，试判断的形状．

参考答案：（Ⅰ）由结合正弦定理变形得:

3分从而,,

…………………6分∵,∴；…………………7分（Ⅱ）由(1)知

………8分则11分∵,

∴

………………12分当时,取得最大值1,

………………13分此时,,

…………14分故此时为等腰三角形.

……15分20.（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，即可求得B，N两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段中点M（x0，y0），则，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣＜m＜，则x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则M（﹣m，m），丨AC丨=?=?=由l与x轴的交点N（﹣2m，0），则丨MN丨==，∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2=丨AC丨2+丨MN丨2=，∴B，N两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．21.（16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对于?n∈N*，都有Sn≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），可得（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），因此an+1﹣an﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得kn是正整数，因此以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），所以（an+1）（an+1+1）﹣（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn+n）﹣6（Sn﹣1+n﹣1），即（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），又an＞0，所以an+1﹣an﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个．…（16分）解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，而当n≥2时，，即，…（14分）又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，所以kn也都是正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=3m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{bn}有无数个．…（16分）【点评】本题考查了构造方法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22.已知三棱柱ABC—A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC