2023年辽宁省抚顺市东洲区中考数学模拟试卷（四）（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的绝对值是()

A.B.C.D.

2.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

A.B.C.D.

3.下列运算正确的是()

A.B.C.D.

4.如图所示，该几何体的左视图是()

A.

B.

C.

D.

5.方程的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定是否有实数根

6.如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为()

A.

B.

C.

D.

7.下列说法正确的是()

A.汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯是必然事件

B.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为”表示随着抛掷次数的增加“抛出朝上的点数是”这一事件发生的频率稳定在附近

C.“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨

D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式

8.某班有人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小亮进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是()

A.平均分不变，方差变大B.平均分不变，方差变小

C.平均分和方差都不变D.平均分和方差都改变

9.我国古代数学名著张邱建算经中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值斗谷子，现在拿斗谷子，共换了斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为()

A.B.

C.D.

10.如图，抛物线的顶点和该抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是直线，有下列四个结论：

，

，

，

当时，，

其中正确结论的个数是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.生物学家发现了一种病毒的长度约为毫米，数据用科学记数法表示为______．

12.的立方根是______．

13.分解因式：．

14.如图，在平面直角坐标系的轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值为______．

15.如图，与位似，位似中心是点，若：：，则与的周长比是______．

16.如图，三条对角线将正六边形分割如图所示，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．

17.如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，其中，，点为斜边的中点，反比例函数的图象过点，且交线段于点，连接，若，则的值为______．

18.如图，在平行四边形中，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，当的长最小时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

19.某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手及两根与垂直且长为米的不锈钢架杆和杆子的底端分别为，，且．

求点与点的高度差；

求所用不锈钢材料的总长度即，结果精确到米

参考数据：，，

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分

先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数，代入求值．

21.本小题分

今年月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表如表和扇形统计图如图，根据图表中的信息解答下列问题：

求全班学生人数和的值．

直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．

该班中考体育成绩满分共有人，其中男生人，女生人，现需从这人中随机选取人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．

分组分数段分频数

22.本小题分

某传媒公司计划购买，两种型号的演出服．已知型演出服比型演出服每套多元，且用元购买型演出服的套数与用元购买型演出服的套数相同．

求，两种型号的演出服每套分别是多少元？

该公司计划采购，两种型号的演出服共套，要求所用费用不得少于元，则至少购进型演出服多少套？

23.本小题分

如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

求证：是的切线；

若，，求的长．

24.本小题分

某衬衫厂生产某品牌衬衫的成本是元件，批发价元件与一次性批发件数件之间的关系满足如图所示的折线的函数关系，一次性批发件数件是的正整数倍，且批发价元件不低于元件．

求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

若某商户一次性批发该衬衫的件数不超过件，求该商户一次性批发该衬衫多少件时，衬衫厂获得的利润最大？最大利润是多少？

25.本小题分

如图，以点为旋转中心将正方形逆时针旋转角，得到正方形，作直线，过点作，垂足为，连接．

如图，当时，请直接写出和的数量关系；

如图，当时，中的结论是否成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由；

当点在的垂直平分线上时，请直接写出的长度．

26.本小题分

如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，点，且与轴的另一交点为点，点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点．

求该抛物线的解析式；

若点在第一象限内，当时，求四边形的面积；

将绕平面直角坐标系中某点逆时针旋转，对应点为，，，当中有两个顶点落在抛物线上时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值是．

故选：．

根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．

本题考查了绝对值的概念，掌握绝对值的概念是关键．

2.【答案】

【解析】解：选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，

选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，

选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形．

故选：．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念得出结论即可．

本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：、原式，不符合题意；

B、原式，不符合题意；

C、原式，不符合题意；

D、原式，符合题意．

故选：．

各式计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了分式的乘除法，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：该几何体的左视图如图所示：

．

故选：．

根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．

此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

5.【答案】

【解析】解：，

，

方程有两个不相等的实数根，

故选：．

根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．

本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．

6.【答案】

【解析】解：为等边三角形，

，

，

，

，

．

故选：．

先根据等边三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据平行线的性质得到的度数．

本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于也考查了平行线的性质．

7.【答案】

【解析】解：汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯是随机事件，原表述错误，不符合题意；

B.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为”表示随着抛掷次数的增加“抛出朝上的点数是”这一事件发生的频率稳定在附近，正确，符合题意；

C.“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，原表述错误，不符合题意；

D.了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，原表述错误，不符合题意；

故选：．

根据随机事件、抽样调查、概率及频率估计概率的概念逐一判断即可．

本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握随机事件、抽样调查、概率及频率估计概率的概念．

8.【答案】

【解析】解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，

该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小．

故选：．

根据平均数，方差的定义计算即可．

本题考查方差，算术平均数等知识，掌握平均数，方差的定义是关键．

9.【答案】

【解析】解：设清酒斗，则醑酒斗，

由题意可得：，

故选：．

根据共换了斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿斗谷子，共换了斗酒，即可列出相应的方程．

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

10.【答案】

【解析】解：抛物线开口向下，

，

抛物线的对称轴为，

，即，

，

抛物线与直线与轴交于同一点，

，

，故正确．

，，

抛物线的解析式为．

由函数图象可知：当时，，

，

解得：

把代入抛物线的解析式得：，

抛物线的顶点坐标为．

直线经过抛物线的顶点，

，即，故正确．

时，，即，

由可知，故，故正确．

当时，二次函数的值大于一次函数的值，

，即，

，故正确．

综上可知正确的有个．

故选：．

据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一判断即可．

本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，是中考常考题型．

11.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．

故答案为：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

12.【答案】

【解析】解：，

的立方根是，

故答案为：．

一个数的立方等于，则这个数即为的立方根，据此即可求得答案．

本题考查立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

13.【答案】

【解析】解：原式．

故答案为：

原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．

此题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，

点在的角平分线上，

点到轴和轴的距离相等，

又点的坐标为，

，

．

故答案为：．

根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，可得关于的方程，求解即可．

本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．

15.【答案】：

【解析】解：与位似，

∽，，

∽，

，

与的周长比为：，

故答案为：：．

根据位似图形的概念得到∽，，求得相似比，再根据相似三角形的性质解答即可．

本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形，位似图形的对应边平行是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，

根据正六边形的性质可得：阴影部分面积为整个六边形面积的．

所以针尖落在阴影区域的概率为．

故答案为：．

根据几何概率的求法：针尖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．

此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．

17.【答案】

【解析】解：根据题意设，则，

点为斜边的中点，

，

反比例函数的图象过点，

，

，

的横坐标为，

反比例函数的图象过点，

的纵坐标为，

作轴于，

，

，，

，即，

，

，

故答案为：．

解法二：

作于，

为的中点，，，

，，

，

为斜边的中点，

，

，

．

故答案为：．

根据题意设，则，根据点为斜边的中点，得到，得到的纵坐标为，作轴于，根据三角形列方程即可得到结论．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义，根据，得到关于的方程是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：过点作交于，

，

，

四边形为平行四边形，

，，

，，

∽．

；

，，

的长最小时，的长最小，

．

在中，，，，

；

，，

，

在中，，

四边形为平行四边形．

．

故答案为：．

利用四边形为平行四边形，证明∽，根据已知条件求出与的线段比例关系，从而得出的长最小时，的长最小，即可求出根据平行四边形和推出四边形的形状，进而证明，即可求出的长度．

本题考查了平行四边形的综合运用，涉及到的知识点有三角形相似，所对应的直角边是斜边的一半等，综合性较强．解题的关键在于是否能根据线段之间比例关系推出，从而求出长度，解题的重点在于能否想到作辅助线．

19.【答案】解：米；

过作于，则四边形是矩形．

．

在中，．

米．

米．

答：点与点的高度差为米；所用不锈钢材料的总长度约为米．

【解析】已知看台有四个台阶组成，由图可看出由三个台阶组成，看台的总高度已知，则的长不难求得；

过作于，则四边形是矩形，从而得到，再利用三角函数可求得，的长．那么所用不锈钢材料的总长度就不难得到了．

此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．

20.【答案】解：

，

当，时原分式无意义，，

可以取得整数为，

当时，原式．

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后从的范围内选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

21.【答案】解：由题意可得：全班学生人数：人；

人；

全班学生人数：人，

第和第个数据的平均数是中位数，

中位数落在分数段；

如图所示：

将男生分别标记为，，女生标记为

一男一女．

【解析】利用分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出的值；

利用中位数的定义得出中位数的位置；

利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．

此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．

22.【答案】解：设型演出服每套元，则型演出服每套元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是所列方程的解，且符合题意，

．

答：型演出服每套元，型演出服每套元．

设购进型演出服套，则购进型演出服套，

根据题意得：，

解得：，

又是正整数，

的最小值为．

答：至少购进型演出服套．

【解析】设型演出服每套元，则型演出服每套元，利用数量总价单价，结合用元购买型演出服的套数与用元购买型演出服的套数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型演出服每套的价格，再将其代入中，即可求出型演出服每套的价格；

设购进型演出服套，则购进型演出服套，利用总价单价数量，结合总价不得少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】证明：如图，连接，

是直径，

，

又，

，，

，，

，

，

，

又是半径，

是的切线；

解：如图，

，，

，

，，

，

，

在中，，

，

在中，根据勾股定理，

，

，

又，

，，

，

又，

∽，

，

，，

，

，

，

，

．

的长为．

【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；

根据已知条件得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键．

24.【答案】解：当且为的正整数倍时，，

当且为的正整数倍时，设，

，得，

即当且为的正整数倍时，，

当且为的正整数倍时，；

设衬衫厂获利为元，

当且为的正整数倍时，，

当时，取得最大值，此时，

当且为的正整数倍时，，

当时，取得最大值，此时，

由上可得，若某商户一次批发件数不超过件，此商户一次批发件时，衬衫厂获利最大，最大利润是元．

【解析】根据函数图象和函数图象中的数据可以求得各段对应的函数解析式和自变量的取值范围；

根据题意和分类讨论的数学思想可以求得一次批发件数不超过件时的最大利润．

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和二次函数的性质解答问题．

25.【答