贵州省毕节市2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

第第页贵州省毕节市2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷（含解析）2022-2023学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．（5分）设集合A＝{2，0，x}，B＝{2，x2}且A∩B＝B，则x的取值集合为（）

A．{0，1}B．{l}C．{﹣1，0，1}D．{﹣，1，}

2．（5分）复数z满足（z+1）i＝1﹣i，则z的共轭复数的虚部是（）

A．1B．﹣1C．iD．﹣i

3．（5分）f（x）是定义在[﹣8，8]上的偶函数，且f（4）＞f（2），则下列各式一定成立的是（）

A．f（0）＜f（8）B．f（4）＞f（3）C．f（﹣2）＜f（4）D．f（3）＞f（1）

4．（5分）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）

A．38B．39C．40D．41

5．（5分）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为1，1，，那么这个球体的体积为（）

A．B．5πC．6πD．

6．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是（）

A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，m∥n，则n∥β

C．若m⊥α，n∥α，则m⊥nD．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β

7．（5分）已知向量＝（λ，1），＝（﹣1，μ），若2+3＝（﹣3，8），则cos＜，+＞＝（）

A．B．C．D．

8．（5分）设α∈R，则“2kπ﹣＜α＜2kπ+，k∈Z”是“cosα﹣cos2α＜1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝15，则x的值可以为（）

A．﹣3B．3C．7D．8

（多选）10．（5分）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（）

A．表面积为12B．表面积为3

C．体积为2D．体积为2

（多选）11．（5分）在等腰直角△ABC中，C＝，AB＝3，D是AC的中点，若点P为线段AB的三等分点，则的值可能为（）

A．1B．2C．D．

（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若m＞n＞0，且f（m）＝f（n），则（）

A．m+n＝2B．mn＝1C．+≥2D．+＞3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知函数f（x）＝lgx+，则f（100）＝．

14．（5分）已知x＞0，则﹣4x﹣的最大值为．

15．（5分）某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2，16.76，5至12月降水量的均值、方差分别为83.4，15.44，则该地2022年全年降水量的均值为，方差为．

16．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与时间t之间的关系为h（t）＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）．

①A＝2.4，ω＝，φ＝﹣，K＝1.2；

②点P第一次到达最高点需要的时间为s；

③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是s；

④若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是[，]；

其中所有正确结论的序号是．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+）﹣2sinxcosx+1．

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）若f（）＝，α∈（﹣，），求α的值．

18．（12分）某市政府为了鼓励居民节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个合理的居民用电量标准x（单位：kWh），月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用电量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用电量（单位：kWh），将数据按照[0，50），[50，100），…，[300，350]分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用电量不低于200kWh的人数，并说明理由；

（Ⅲ）若该市政府希望使88%的居民每月的用电量不超过标准xkWh，估计x的值，并说明理由．

19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c（sinA﹣cosA）＝0．

（Ⅰ）求C的值；

（Ⅱ）若c＝1，求△ABC面积的最大值．

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝2，侧面PAD是等腰三角形，且PA＝PD＝，侧面PAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：AP⊥平面PCD；

（Ⅱ）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值．

21．（12分）已知函数f（x）＝（）x．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（Ⅲ）求证：f（x）＜0．

22．（12分）某地区上年度水价为3.8元/吨，年用水量为m吨，本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间，而用户期望水价为3.4元/吨．经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为k）．该地区的用水成本价为3.3元/吨．

（Ⅰ）写出本年度水价下调后水务部门的收益y（单位：元）关于实际水价x（单位：元/吨）的函数解析式；（收益＝实际水量x（实际水价一成本价））

（Ⅱ）设k＝0.2m，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长20%？

2022-2023学年贵州省毕节市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．（5分）设集合A＝{2，0，x}，B＝{2，x2}且A∩B＝B，则x的取值集合为（）

A．{0，1}B．{l}C．{﹣1，0，1}D．{﹣，1，}

【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解．

【解答】解：因为A∩B＝B，所以BA，所以x2∈A，

若x2＝0，则x＝0，与互异性矛盾，

若x2＝x，则x＝0（舍）或x＝1，

x＝1经检验满足题意，

综上x的所有取值为：1．

故选：B．

【点评】本题主要考查了集合交集运算与集合包含关系的转化，属于基础题．

2．（5分）复数z满足（z+1）i＝1﹣i，则z的共轭复数的虚部是（）

A．1B．﹣1C．iD．﹣i

【分析】根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．

【解答】解：（z+1）i＝1﹣i，

则z+1＝，

故z＝﹣2﹣i，，

所以z的共轭复数的虚部是1．

故选：A．

【点评】本题主要考查共轭复数和虚部的定义，属于基础题．

3．（5分）f（x）是定义在[﹣8，8]上的偶函数，且f（4）＞f（2），则下列各式一定成立的是（）

A．f（0）＜f（8）B．f（4）＞f（3）C．f（﹣2）＜f（4）D．f（3）＞f（1）

【分析】根据条件得不出f（x）的单调性，但f（﹣2）＝f（2），从而可得出一定成立的是f（﹣2）＜f（4）．

【解答】解：根据条件得不出f（x）在[﹣8，8]上的单调性，

∴不能比较f（0）和f（8）的大小，f（4）和f（3）的大小，f（3）和f（1）的大小，

∵f（4）＞f（2），f（x）为偶函数，

∴f（﹣2）＝f（2）＜f（4）正确．

故选：C．

【点评】本题考查了偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

4．（5分）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）

A．38B．39C．40D．41

【分析】根据已知条件，将8场比赛得分从小到大排列，再结合百分位数的定义，即可求解．

【解答】解：将8场比赛得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，

75%×8＝6，

故这组数据的第75百分位数为．

故选：B．

【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

5．（5分）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为1，1，，那么这个球体的体积为（）

A．B．5πC．6πD．

【分析】根据长方体的体对角线长是其外接球的直径，由此求出球的半径，利用球的体积公式即可求解．

【解答】解：因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，

所以球的直径为2R＝＝，

故该球的体积为V＝＝π．

故选：D．

【点评】本题考查了长方体的外接球，属于中档题．

6．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中正确的是（）

A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若α⊥β，m∥α，m∥n，则n∥β

C．若m⊥α，n∥α，则m⊥nD．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：若m⊥α，m⊥n，则nα或n∥α，故A错误；

若α⊥β，m∥α，m∥n，则nβ或n∥β或n与β相交，故B错误；

若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C正确；

若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则nβ或n∥β或n与β相交，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7．（5分）已知向量＝（λ，1），＝（﹣1，μ），若2+3＝（﹣3，8），则cos＜，+＞＝（）

A．B．C．D．

【分析】由平面向量的坐标运算求出λ，μ，再由平面向量夹角的计算公式直接计算即可．

【解答】解：＝（2λ﹣3，3μ+2）＝（﹣3，8），

∴，解得：，

∴，

∴，

∴cos＜，+＞＝＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算和夹角，属于基础题．

8．（5分）设α∈R，则“2kπ﹣＜α＜2kπ+，k∈Z”是“cosα﹣cos2α＜1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】根据题意，求“cosα﹣cos2α＜1”成立时cosα的范围，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案．

【解答】解：根据题意，若cosα﹣cos2α＜1，即cosα﹣cos2α﹣1＝cosα﹣cos2α＜0，

变形可得：cosα＜0或cosα＞，

又由﹣1≤cosα≤1，则﹣1≤cosα＜0或＜cosα≤1，

若“2kπ﹣＜α＜2kπ+，k∈Z”，则＜cosα≤1，必有cosα﹣cos2α＜1；

反之，若cosα﹣cos2α＜1，即﹣1≤cosα＜0或＜cosα≤1，不一定有“2kπ﹣＜α＜2kπ+，k∈Z”，

故“2kπ﹣＜α＜2kπ+，k∈Z”是“cosα﹣cos2α＜1”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）＝15，则x的值可以为（）

A．﹣3B．3C．7D．8

【分析】由题意，利用分段函数的解析式，分类讨论，求出x的值．

【解答】解：∵函数f（x）＝，若f（x）＝15，

∴或，

解得x＝﹣3或x＝8．

故选：AD．

【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题．

（多选）10．（5分）如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（）

A．表面积为12B．表面积为3

C．体积为2D．体积为2

【分析】根据题意，由正弦定理求出BC的长，进而可得△ABC的面积，由此可得正三棱锥的表面积，分析可得正三棱锥的棱长，由此求出正三棱锥的体积，由此分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，圆形铁片的半径为4，其中△ABC为正三角形，

则有＝2×4＝8，变形可得BC＝4，

则△ABC的面积S＝×4×4×＝12，即该正三棱锥的表面积为12，A正确，B错误；

所得正三棱锥的棱长为BC＝2，

其正三棱锥的底面面积S′＝×2×2×＝3，其高h＝2，

则该正三棱锥的体积V＝S′h＝2，C正确，D错误．

故选：AC．

【点评】本题考查棱锥的体积和表面积的计算，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．

（多选）11．（5分）在等腰直角△ABC中，C＝，AB＝3，D是AC的中点，若点P为线段AB的三等分点，则的值可能为（）

A．1B．2C．D．

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的值即可．

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

等腰直角△ABC中，C＝，AB＝3，

所以AC＝BC＝3，

因为D是AC的中点，所以D（，0），

又因为点P为线段AB的三等分点，

所以P（1，2）或P（2，1），

当P（1，2）时，＝（﹣，2），＝（1，2），

所以＝﹣+4＝，

当P（2，1）时，＝（，1），＝（2，1），

所以＝1+1＝2．

故选：BD．

【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．

（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，若m＞n＞0，且f（m）＝f（n），则（）

A．m+n＝2B．mn＝1C．+≥2D．+＞3

【分析】由已知结合对数函数的性质及对数的运算性质可得mn＝1，代入整理可求结论．

【解答】解：因为f（x）＝|lnx|，

若f（m）＝f（n）（m＞1＞n＞0），

则lnm＝﹣lnn，即lnm+lnn＝0，

所以mn＝1，B对，

m+n≥2＝2（当且仅当m＝n＝1时取等号），但m＞n，即等号不成立，A错，

+≥2＝2，当且仅当m＝2n＝时等号成立，C对，

≥2＝2，当且仅当n＝2m＝时等号成立，此时m＝，不符合题意，

由+＝2m+在m＞1为增函数，可得+2m＞3，故D正确．

故选：BCD．

【点评】本题主要考查了对数函数的性质及对数的运算性质，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知函数f（x）＝lgx+，则f（100）＝．

【分析】由已知结合对数的运算性质即可直接求解．

【解答】解：因为f（x）＝lgx+，

则f（100）＝lg100+＝2+＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．

14．（5分）已知x＞0，则﹣4x﹣的最大值为﹣3．

【分析】由已知利用基本不等式即可直接求解．

【解答】解：因为x＞0，

则﹣4x﹣＝﹣（4x+）﹣2＝﹣3，

当且仅当4x＝，即x＝时取等号．

故答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

15．（5分）某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2，16.76，5至12月降水量的均值、方差分别为83.4，15.44，则该地2022年全年降水量的均值为80，方差为39．

【分析】根据题意，由总体的平均数、方差公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，某地2022年1至4月降水量的均值、方差分别为73.2，16.76，5至12月降水量的均值、方差分别为83.4，15.44，

则该地2022年全年降水量的均值＝＝80，

其方差S2＝×[16.76+（73.2﹣80）2]+×[15.44+（83.4﹣80）2]＝39．

故答案为：80；39．

【点评】本题考查总体的平均数、方差的计算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题．

16．（5分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与时间t之间的关系为h（t）＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）．

①A＝2.4，ω＝，φ＝﹣，K＝1.2；

②点P第一次到达最高点需要的时间为s；

③在转动的一个周期内，点P在水中的时间是s；

④若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是[，]；

其中所有正确结论的序号是①④．

【分析】根据题意得出h（t）的解析式，而后逐个分析即可．

【解答】解：对于①，由题意知A＝2.4，k＝1.2，

根据几何关系可得P0与x轴正方向的夹角为﹣，即φ＝﹣，ω＝＝，①正确；

对于②，筒第一次到达最高点所需时间为（+）÷＝s，②错误；

对于③，转动一周筒在水中的时间为（π﹣2×）÷＝s，③错误；

对于④，x∈[0，a]，（t﹣）∈[﹣，×a﹣]，

令≤t﹣≤，得≤x≤，④正确．

故答案为：①④．

【点评】本题主要考查是三角函数相关性质，属中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x+）﹣2sinxcosx+1．

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）若f（）＝，α∈（﹣，），求α的值．

【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）＝，即可求解．

（Ⅱ）由题意可求＝，可求，进而可求α的值．

【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝sin（2x+）﹣2sinxcosx+1

＝

＝

＝，

所以．

（Ⅱ）因为＝＝，

所以＝，

因为，

所以，

所以α+＝，

所以．

【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

18．（12分）某市政府为了鼓励居民节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个合理的居民用电量标准x（单位：kWh），月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用电量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用电量（单位：kWh），将数据按照[0，50），[50，100），…，[300，350]分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；

（Ⅱ）已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用电量不低于200kWh的人数，并说明理由；

（Ⅲ）若该市政府希望使88%的居民每月的用电量不超过标准xkWh，估计x的值，并说明理由．

【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；

（Ⅱ）先求出样本中月均用电量不低于200kWh的频率，用样本估计总体，即可求出结果；

（Ⅲ）由频率分布直方图可知，x∈[250，300），则0.85+（x﹣250）×0.0024＝0.88，从而求出x的值．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，50×（0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+a+0.0006）＝1，

解得a＝0.0024；

（Ⅱ）样本居民中月均用电量不低于200kWh的频率为50×（0.0044+0.0024+0.0006）＝0.64，

用样本估计总体，所以估计全市居民中月均用电量不低于200kWh的人数为60×0.64＝38.4（万人）；

（Ⅲ）因为50×（0.0006+0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.85＜0.88，

50×（0.0006+a+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.97＞0.88

所以x∈[250，300），则0.85+（x﹣250）×0.0024＝0.88，

解得x＝262.5．

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．

19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c（sinA﹣cosA）＝0．

（Ⅰ）求C的值；

（Ⅱ）若c＝1，求△ABC面积的最大值．

【分析】（1）利用正弦定理，边转角得到tanC，再利用角的范围，即可求C；

（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2+ab，由基本不等式求出ab的范围，即可求出△ABC的面积的最大值．

【解答】解：（1）由正弦定理可得b＝2RsinB，c＝2RsinC，（R为△ABC外接圆半径），

所以b+c（sinA﹣cosA）＝0可化为＝0，

即+sinAsinC﹣＝0，

即+sinAsinC＝0，

∵sinA≠0，∴tanC＝﹣，

又C∈（0，π），∴C＝；

（2）即余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，

即3ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，

所以S△ABC＝absinC≤＝，

所以△ABC的面积的最大值为．

【点评】本题考查了正、余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．

20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝2，侧面PAD是等腰三角形，且PA＝PD＝，侧面PAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：AP⊥平面PCD；

（Ⅱ）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）证明CD⊥平面APD即可；（Ⅱ）∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，由此即可得．

【解答】（Ⅰ）证明：在△APD中，AD＝2，，

∴AD2＝AP2+DP2，∴AP⊥DP，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

AD⊥CD，CD平面ABCD，∴CD⊥平面APD，∴CD⊥AP，

∵CD∩DP＝D，∴AP⊥平面PCD；

（Ⅱ）解：取AD的中点为M，连接PM，∵PA＝PD，所以PM⊥AD，

又∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

∴PM⊥平面ABCD，过点M作MG⊥BC，垂足为G，连接PG，

∴BC⊥平面PMG，∴∠PGM为侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

在直角△