人教A版（2023）必修一3.2.1单调性与最大（小）值（含解析）

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（共20题）

一、选择题（共13题）

函数，则的最大值与最小值分别为

A．，B．，C．，D．以上都不对

已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是

A．B．C．D．

函数在上为减函数，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

若函数，则函数的单调递减区间为

A．B．

C．和D．

函数在上的最小值为

A．B．C．D．

设在上有定义，对于给定的实数，定义．给出函数，若对于任意，恒有，则

A．的最大值为B．的最小值为

C．的最大值为D．的最小值为

函数的值域是

A．B．C．D．

若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是

A．B．

C．D．

如果函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为

A．B．C．D．

设，，其中，，为实数，则下列命题中，正确的是

A．若函数的值域为，则

B．若函数的值域为，则

C．存在实数，，且，使函数的值域为

D．存在实数，，且，使函数的值域为

定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为

A．B．C．D．

已知，，则的最值是

A．最大值为，最小值为B．最大值为，无最小值

C．最大值为，无最小值D．既无最大值，又无最小值

二、填空题（共4题）

已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是．

函数在区间上的最大值为，最小值为．

若函数的最小值为，则实数．

已知．函数在区间上的最大值是，则实数的取值范围是．

三、解答题（共3题）

已知函数．

(1)若函数在区间上是单调的，求实数的取值范围．

(2)当时，求函数的最小值．

(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．

已知函数．

(1)若函数的最大值为，求实数的值．

(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．

(3)是否存在实数，使函数在区间上的值域也为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

用平均变化率证明：函数在上是减函数，并求在区间上满足时，的取值范围．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】A

【解析】本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上的最大值中的最大值，最小值为各段上的最小值中的最小值．

当时，；

当时，．

所以，．

2.【答案】D

【解析】由已知，可得解得．

3.【答案】A

4.【答案】C

【解析】函数的大致图象如图所示，

二次函数图象的对称轴为直线，所以函数的单调递减区间为和．

5.【答案】C

【解析】因为在上是增函数，

所以当时，．

6.【答案】D

【解析】根据题意可知，对于任意，恒有，则在上恒成立，即．令，则，，可得，

所以．

故选D．

7.【答案】A

【解析】易知当时，函数为增函数，故值域为．

8.【答案】B

【解析】因为在上是减函数，且，

所以．

9.【答案】B

【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，要使函数在区间上是减函数，只要对称轴，即．

故选B．

10.【答案】C

【解析】令，则由，得．

由题意，得在上恒成立，故有．

①当，即时，函数在上单调递增，，由，得，因此．

②当，即时，，由，得，因此．

③当，即时，函数在上单调递减，，由，得，与矛盾．

综上，．

故选C．

11.【答案】D

【解析】对于A，取，，，，，的值域为，不满足，同时该例也说明D正确．

对于B，取，，，，，的值域为，不满足．

对于C，显然函数值不可能无限小，即不可能为．

12.【答案】A

【解析】若，则，

因为当时，，所以．

又，

则，

所以当时，取得最小值．

13.【答案】B

【解析】的图象如图中实线部分所示，

则的最大值为函数与的图象在轴左侧交点的纵坐标．

作出的图象，由的图象可直观看出取得最值时需满足的条件，采用了数形结合思想．

由得，

可得．

故最大值为，无最小值．

二、填空题（共4题）

14.【答案】

【解析】，

由复合函数的增减性可知，在上为增函数，

所以，

所以．

15.【答案】；

【解析】画出函数的图象（图象略，也可类比的图象），根据函数图象可知在区间上单调递减，所以函数在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值，最大值为，最小值为．

16.【答案】或

【解析】当时，

，

所以，

所以，

所以．

当时，

，

所以，

所以，

所以．

综上，．

17.【答案】

【解析】在区间上的最大值是，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立．去绝对值得，故由函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，故，所以，解得．

故实数的取值范围是．

三、解答题（共3题）

18.【答案】

(1)，对称轴为，

因为在区间上是单调的，

所以或．

(2)当时，在区间上单调递增，，即；

当时，在区间上单调递减，在上单调递增；所以，即；

当时，在区间上单调递减，

，即；

综上，

(3)由题意知，恒成立，则；

由（）知，

当时，，解得或，即；

当时，，不满足，舍去；

当时，，解得或，即；

综上，的取值范围为．

19.【答案】

(1)因为，开口向下，对称轴，，

所以，解得或．

(2)若函数在上单调递减，则，解得，

所以的取值范围是．

(3)，开口向下，

对称轴，在上的值域为，

当时，在上是减函数，

所以即解得不存在，

当时，在上是增函数，

所以即解得，

当时，在是增函数，在是减函数，