现实世界中的数学模型课件

第一章现实世界中的数学模型第一章1第一节现实世界的模型第一节现实世界的模型2在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词并不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物模型”等。“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程等词汇来描述相应的对象。在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词并3模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简4一、形象模型根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又称为直观模型。一、形象模型根据某种物体的实际大小，按一定比5二、物理模型物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的某些规律。二、物理模型物理模型主要指科研工作者为一定的目6三、思维模型思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点。三、思维模型思维模型是指人们对原型的反复认识7四、符号模型用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征，这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构表等。四、符号模型用一些比较生动、鲜明的符号来刻画8五、数学模型在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的例子。五、数学模型在初等数学中，我们就已经碰到了数9例甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水速各为多少？分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假设之下，我们可以得出问题的解。求解设水的流速为，船的行驶速度为，则当顺水航行时有关系例甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需10当船只逆水航行时，有即有方程组上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。当船只逆水航行时，有即有方程组上式即为原问题的数学表达式，又11容易求出该问题的解：。即船速为20km/h，水速为5km/h。容易求出该问题的解：12在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：对于13注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解过程。建立模型的过程就称为数学建模。注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学14第二节数学建模的重要意义第二节数学建模的重要意义15一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少的工具。三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之16四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：1.预报与决策；2.分析与设计；3.控制与优化；4.规划与管理。四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：1.预17第三节数学模型的例子第三节数学模型的例子18一、椅子放稳问题问题一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能的话，给出具体的方法。假设1椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一个四方形的顶点上；假设2地面是一张连续变化的曲面；假设3在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。一、椅子放稳问题问题一个有四个脚的方19建模设椅子的四只脚位于点其连线构成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线为坐标轴（坐标系统如图所示）。设为两点椅子的脚离开地面的距离只和；为两点的椅子的脚离开地面的距离之和，则由条件得建模设椅子的四只脚位于点20注意到：并且椅子的四脚落地意味着故不妨假设则问题归结为是否存在使得注意到：21解模由条件对任意，有且令则因解模由条件对任意，有22由闭区间连续函数的零点定理知，存在使得注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落地，即所以由，即有由闭区间连续函数的零点定理知，存在使得注意到条件：椅子的四个23此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出了放稳的具体方法。注若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方形的桌子，则该如何求解？此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出24二、人口增长的预报问题随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪的人口增长情况。年1625183019301960人口（亿）5102030年197419871999人口（亿）405060二、人口增长的预报问题随着科学技术的发展，在25从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界经济的发展。从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩26下表是我国在20世纪中人口发展的状况：年1908193319531964人口（亿）3.04.76.07.2年198219902000人口（亿）10.311.312.95下表是我国在20世纪中人口发展的状况：年190819327认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作出检验，最后用它预报2010年美国的人口。认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作28年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4表1美国人口数据统计年179018001810182018301840人口3.929⑴指数增长模型一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为，年增长率为，则以后第年的人口为在上面的问题中，假定人口的增长率是一个不变的常数。

200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立了著名的人口指数模型。⑴⑴指数增长模型一个简单的人口模型是指数模型：30建模记时刻时的人口为，并视其为连续变量，初始时的人口为，从到时间内人口的增量为，则有令则得到应满足的微分方程：⑵建模记时刻时的人口为，并31由这个方程容易解得：当时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故称为指数增长模型。⑶参数估计：⑶式中的和可以用表1中的数据进行估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得其中：。⑷由这个方程容易解得：当时，⑶式表明人口将32以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得331790—1900实际人口与计算人口的比较计算人口曲线实际人口1790—1900实际人口与计算人口的比较计算人口曲线实际人341790—2000实际人口与计算人口比较计算人口曲线实际人口1790—2000实际人口与计算人口比较计算人口曲线实际人口35年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2指数增长模型拟合美国人口数据的结果年179018001810182018301840人口3.936结果分析用上面得到的参数代入⑶式，将计算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口是用1790年的数据拟合的结果；计算人口是用全部数据拟合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明显放慢，此时模型不再适合了。结果分析用上面得到的参数代37年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1年191019201930194019501960人口92.38从历史上看，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，此外，以此模型作短时间里的人口预测可以得到较好地结果。原因是此时人口的增长率几乎是一个不变的常数。但是，从长期看，任何地区、任何国家的人口不可能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断地变化。一般情况下，当人口较小时，增长较快；当人口达到一定数量时，增长率明显下降。因而用平均增长率来代替变化增长率，会与实际结果有较从历史上看，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些39大的差距。大的差距。40⑵阻滞增长模型（Logistic模型）分析当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。⑵阻滞增长模型（Logistic模型）分析41建模设增长率随人口数量的增长而下降，则关系式⑵可改写成⑸其中是的减函数。进一步假定，设是的线性函数，即⑹这里称为固有增长率。引入，称为人口容量，即建模设增长率随人口数量的增长而下42当时，人口不再增长，即代入⑹式得于是⑹式为⑺把⑺代入方程⑸，得⑻当时，人口不再增长，即43方程⑻右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。注意到：越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口的增长是两个因子共同作用的结果。以为横轴，为纵轴作出方程⑻的图形。从该图形中可以大致描绘出的图形。方程⑻右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子44Logistic模型x—t曲线Logistic模型x—t曲线45参数估计为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，将方程⑻表为用数值微分和曲线拟合，利用从1860到1990年的数据计算得到/10年，参数估计为了利用简单的线性最小二乘法估计这个46结果分析：用上面的数据代入方程的解：⑼将计算结果与实际数据加以对比：有下面的图表结果分析：用上面的数据代入方程的解：⑼将计算结果与实47年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x117.522.328.335.845.056.2表3阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果年179018001810182018301840人口3.948年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.3年191019201930194019501960人口92.49阻滞增长型拟合图形（1790—1990）计算人口曲线实际人口阻滞增长型拟合图形（1790—1990）计算人口曲线实际人口50从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段时间，数据拟合的情况不是很好，但在最后一段时间，吻合得相当不错。以该数据来预测2000年的人口情况，我们有与实际数据有约的误差，可以认为该模型是能够令人满意的。将2000年的数据加入，可以预测到在2010年美国人口将达到百万。从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段时51三、传染病的蔓延问题问题当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传染病的蔓延？三、传染病的蔓延问题问题当某种传染病52模型一假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人数为定量，记作，称其为传染系数。建模设时刻，有病人数，且初始时再设从时刻到时刻时间段中病人的增量为从而有模型一假设：病人是通过与他人接触而将53令则有微分方程，并有初始条件⑴从而问题转变为一个常微分方程的初值问题.令则有微分方程，并有初始条件54解模方程⑴为一阶线性齐次常系数微分方程，方程的通解为再由初始条件得初值问题的解为⑵⑵式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即解模方程⑴为一阶线性齐次常系数微分方程，方程55实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故上面的模型并不适用.实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故56模型二假设1.在传染病流行的地区里，总人口数是不变的;

2.在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变量.因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少，从而也会减少.为此假定与健康人数量成正比,其比例系数为，仍然称为传染系数.模型二假设1.在传染病流行的地区57建模设时刻时有病人数健康人数。初始时刻时有病人数.由假定1，有在时刻到的时间段中，病人数的增量为⑶两边同除以，并令其趋于零，则有微分方程建模设时刻时有病人数58⑶如此，把问题转变成一个微分方程.⑶如此，把问题转变成一个微分方程.59解模此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容易解出:两边积分，得解模此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容两60再由初始条件，得所以方程的解为变形后有再由初始条件，得所以方程的解为变形后有61即所以即所以62从而原方程的解为⑷曲线的大致图形如下：分析：当时，此表明所有的人都将成为病人，这也是不合理的.因为最终病人数将趋于零.从而原方程的解为⑷曲线的大致图形如下：分析：当63此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病何时会达到最大值.对⑶式求导并令其为零，则有⑸由方程⑶此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病64从而方程⑸意味着即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率达到最大.⑹将⑹代入⑷,得最传染病高峰时刻为从而方程⑸意味着即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率65模型三假设:1.在传染病流行的区域内，总人口数是不变的;

2.在单位时间内，一个病人能传染的健康人数量成正比，其比例系数记为，称为传染系数。3.在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够不再成为病人的可能性记为，称为恢复系数。模型三假设:1.在传染病流行的区域内，总66建模设时刻有病人人，健康人，免疫者人，初始时刻有病人及免疫人数为0.由假设1及3得⑺⑻从时刻到时刻的时段中病人数的增量为建模设时刻有病人人，健康67其中为免疫者数量的增量。把除以上式的两边，并令其趋于零，则有微分方程：再由⑺式得所以其中为免疫者数量的增量。把除以上式的两边68⑼⑽如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值问题.⑼⑽如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值69上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度来进行讨论.引入量，称为特征系数，则微分方程转变为⑾此方程为变量可分离的微分方程，分离变量后求解：上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度70得由此得到初值问题⑾的解为⑿得由此得到初值问题⑾的解为⑿71解的分析由于故解曲线⑿必定在下述一个三角形区域内：由⑽知即随时间的增加，健康人数将减少。再由⑾知当时，此时病人数达到了极大值再来看当时间在增加时病人数和健康人数的极值情况。解的分析由于由⑽知即随时72由于由极限存在准则：故极限值存在，且由于故极限值存在。从而由式⑺式知极限值必存在，且由于73其次，假定则由⑻当相当大时，有此与的存在性矛盾，所以从图中可以看出，在健康人数初始值的条件下，当时间时，健康人数量减少，而病人数先增加，在达到极大值后再减少；而在健康人数初始值的条件下，其次，假定则由⑻74当时间增加时，健康人数量减少，病人数量也减少。结论：只有当时传染病才会蔓延。数量称为阀值。显然越大则越不容易使传染病蔓延。由的定义知，欲使增大，可使恢复系数增大和传染系数值降低。其实际意义是：提高医疗水平及提高卫生保健水平，是预防传染病蔓延的良好途径。当时间增加时，健康人数量减少，病人数量也减75从以上的分析中可以看到，模型三还是比较符合实际情况的。从以上的分析中可以看到，模型三还是比较符合实际76应用应用模型三，我们来估计一次传染病流行过程中被传染者的总数。应用应用模型三，我们来估计一次传染病流行过程中被77若一次被传染病流行后健康人数量为，则被传染者的总数为显然，应该满足⑿中的时的形式⒀因为一般有故代入⒀、⒁，得近似方程，⒁⒂若一次被传染病流行后健康人数量为，则被传染者78又由于由幂级数展开式，⒂为略去较高项，有解出，得⒃又由于由幂级数展开式，⒂为79若记健康人数量超过阀值部分为，即⒄则被传染者总数为⒅若记健康人数量超过阀值部分为，即⒄则被传染者总数为⒅80特别地，当健康人数量的初始值超过阀值部分很小时，即时，就有⒆从上面的几个式中可以看到，在阀值提高后，值将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数也会变小。特别地，当健康人数量的初始值超过阀值部分很小⒆81在上面的讨论中，参数可以由实际数据估计得到的。因初始值从而故由⒁得从而⒆在上面的讨论中，参数可以由实际数据估计得到的。82检验所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一些经验和统计资料做一番检验。如果它与实际数据吻合，则该模型可以用于实际的应用；如果它与实际数据吻合得不好，则该模型还不能做定量的应用。在后一种情况下，则需要对模型做进一步地修改，直到模型与实际数据吻合为止。检验所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一83假设有一组数据，该数据反映的是某医院每周的传染病病人病愈和死亡的情况：（时间单位为一周）时间1234…N治愈人数…今以这组数据来检验模型三。为此首先求出与的关系：由关系⑺，⑻，得微分方程假设有一组数据，该数据反映的是某医院每周的传染时间184⒇该初值问题的解为代入⑺式得到⒇该初值问题的解为代入⑺式得到85由于病愈和死亡的人数将指数函数按幂级数展开：代入到上式，并略去高阶项后得：(21)由于病愈和死亡的人数将指数函数按86用分离变量法求得上面方程的解其中由前式得到用分离变量法求得上面方程的解其中由前式得到87当则上式成为(22)(23)其中，(24)当则上式成为(22)(23)其中，(288下面介绍参数的确定方法：当参数各取定某个数值时，对于由公式(23)可确定相应的理论值：构造理论值和实际值间的误差平方和函数如下：下面介绍参数的确定方