弹塑性问题的有限单元法

弹塑性问题的有限单元法第1页，课件共97页，创作于2023年2月线弹性材料（ElasticMaterial）在外力作用下，材料的应力应变呈线性关系，并且在某一应力水平卸载后，材料恢复到原来的状态，即变形为零。Elasticimpliesthattheelementwillreturntoit'soriginalsizeandshapeonceallappliedloadsareremoved,ifnotstressedpastit'syieldpoint(y).第2页，课件共97页，创作于2023年2月

岩土体材料

（RockandSoil）岩土体不是完全的线弹性体，应力应变很少呈线性关系，且当外力消除以后，往往有不可恢复的塑性变形。因此，本章考虑材料的非线性，主要讨论岩土体的弹塑性模型。Ifstressedpastit'syieldpoint(plasticrange),thematerialwilltakeapermanentsetandwillnotfullyreturntoit'soriginalsizeandshape,whenallloadsareremoved.

第3页，课件共97页，创作于2023年2月第一节应力与应变分析一、一点的应力状态与应力张量二、应力张量的分解三、应力不变量四、主应力空间、平面与罗德（Lode）角五、应变张量主要内容：第4页，课件共97页，创作于2023年2月一、一点的应力状态与应力张量应力张量可以采用分量记法，即用矩阵或张量下标表示

任一点的6个应力分量：{σ}=[σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz］T（3-1）式中i,j=x,y,z第5页，课件共97页，创作于2023年2月张量引入张量：0阶张量：30＝11阶张量：31＝32阶张量：32＝93阶张量：33＝27应力和应变是二阶张量标量矢量第6页，课件共97页，创作于2023年2月用二阶张量在x,y,z坐标系表示或写成：第7页，课件共97页，创作于2023年2月矩阵记法分量记法说明了张量的分量与坐标系的选取有关。（3-1）张量下标记法式中i,j=x,y,z

应当注意：张量分量的矩阵记法与二维数组的区别。应力张量可以用其分量表示成3×3的对称方阵，而写成矩阵形式3×3的二维数组却不一定是张量，更不一定是应力张量，只不过是按一定顺序排列的数组而已。第8页，课件共97页，创作于2023年2月二、应力张量的分解张量可以合成和分解应力张量分解为球张量和偏张量=+=+第9页，课件共97页，创作于2023年2月=+（3-2）物理意义应力张量的球张量分量——作用在该点的平均应力(σm)或静水压力(p)应力张量的偏斜分量——作用在该点的偏应力(si)和剪应力(sij)(i≠j)。第10页，课件共97页，创作于2023年2月张量分解在塑性理论中的意义在弹性力学中，应力球张量只产生弹性应变(应变球张量)，应力偏张量只产生弹性剪应变(应变偏张量)，本构关系非常简单。在金属塑性理论中假设体应变为弹性的，故体应变只有弹性分量而与塑性无关，剪应变有塑性分量。将应力分解为球张量与偏张量，不仅使它们与体应变和剪应变之间的关系相互对应，而且可以简化本构关系的分析。即使在应力球张量与偏应变、应力偏张量与体应变发生耦合作用的岩土塑性本构关系理论中，将应力分解为球张量与偏张量，也便于分析它们对塑性体应变与剪应变的各自影响，从而建立相应的本构关系。第11页，课件共97页，创作于2023年2月三、应力不变量应力张量的分量表示法与坐标轴的选取有关，当进行一点应力状态分析或建立弹塑性本构关系时，如果能够找到与坐标系选取无关的应力不变量来表示，则将会简捷得多。下面就寻找这样的不变量。第12页，课件共97页，创作于2023年2月（一）应力张量不变量在弹性力学中已经证明，通过一点可以找到相互垂直的三个主平面，在这些面上的剪应力为零。主平面上作用的正应力就称为主应力。主平面的方向称为主方向。对于一定的应力状态而言，主应力和主方向是不变的。第13页，课件共97页，创作于2023年2月现在直角坐标系中取一四面体，设斜面ABC是主平面，则作用于该面的法向应力即为主应力，如图3-2所示。（3-3）又设l、m、n代表主应力的方向余弦，l=cos(x，N)，m=cos(y，N)，n=cos(z，N)则主应力{σ}在三个坐标轴上的投影为px=σl,py=σm,pz=σn平衡方程ABOxyz{}NC图3-2四面体应力第14页，课件共97页，创作于2023年2月要使l、m、n有非零解，则必有（3-5）第15页，课件共97页，创作于2023年2月式(3-5)的三个根即为主应力σ1、σ2、σ3。该点的主应力值不会因坐标选择而改变，因而I1、I2、I3的值也是不会改变的，它们分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。如果坐标轴方向与主应力方向一致，则（无剪应力）

I1=σ1+σ2+σ3

I2=-(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)

I3=σ1σ2σ3(3-6)（3-5）第16页，课件共97页，创作于2023年2月（二）应力偏张量不变量应力偏张量Sij也有三个不变量J1=sx+sy+sz=0J2=-(sxsy+sysz+szsx)+s2xy+s2yz+s2zx

=1/6(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σz-x)2+6(τ2xy+τ2yz+τ2zx〕=1/2(s2x+s2y+s2z)+s2xy+s2yz+s2zx

J3=sxsysz+2sxysyzszx-sxs2yz-sys2zx-szs2xy

(3-7)

式中J1、J2、J3分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变量。第17页，课件共97页，创作于2023年2月当取坐标轴与主轴方向一致时，则

J1=0J2=-(s1s2+s2s3+s3s1)=1/6[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]J3=s1s2s3

第18页，课件共97页，创作于2023年2月应力张量不变量I1、I2、I3应力偏张量不变量J2、J3、(J1=0)在研究岩土弹塑性问题时我们更关注其中的I1、J2、J3这是因为I1只与平均应力σm或静水应力p有关，而J2反映剪应力的大小，J3表示剪应力的方向。第19页，课件共97页，创作于2023年2月四、主应力空间、罗德角假设：岩土体为各向同性体，因此主应力的作用方向就无关紧要，通常只要研究作用在一点的主应力大小就可以了。三个主应力正好可以用三维空间来直观地描述。以三个主应力为轴而组成的笛卡尔空间坐标系就称为主应力空间，如图所示。第20页，课件共97页，创作于2023年2月OQ’Q以主应力表示的物体中一点的应力状态在主应力空间中对应一个点

Q(σ1，σ2，σ3)。原点O与Q的连线OQ称为该点的应力矢量，它代表着岩土体中相应点的应力大小与方向。在主应力空间中，与三个坐标轴成相等倾角的线称为λ线(等压线）。λ线的方程可以表示为

σ1=σ2=σ3(3-8)

第21页，课件共97页，创作于2023年2月OQ’Q偏平面(π′)的方程为式中ρσ—偏平面与原点的距离(3-9)而π平面的方程为为了确定偏剪应力的方向引入罗德角θσ的概念。MO’偏剪应力与O′M线的夹角就定义为罗德角，规定顺时针（-），逆时针（+）。这样θσ就代表偏剪应力在偏平面上的作用方向。第22页，课件共97页，创作于2023年2月

与等压线相正交的平面称为偏平面，通过坐标原点与等压线相正交的平面称为π平面。可见π平面是一个特殊的偏平面。由偏平面的定义可知，在一个偏平面内平均应力为常量，故偏平面的方程为：（3-9）第23页，课件共97页，创作于2023年2月OQ’Q将应力空间中代表一点应力状态的应力分量OQ向偏平面和等压线上投影，即可得到作用在偏平面上的正应力分量ρσ和偏剪应力分量rσ

所以应力空间中任一点的应力状态可以用偏平面上的应力来表示。第24页，课件共97页，创作于2023年2月可以证明(3-11)同样可以证明正应力和应力不变量σm、J2及θσ的关系为：第25页，课件共97页，创作于2023年2月五、应变张量对于连续变形体来说，应力与应变是对偶的，即有应力就必然产生应变，有应变就必然产生应力。应力和应变都属于二阶对称张量。从张量的角度分析，它们有许多相似之处。例如它们都可以分解为球张量与偏张量，都具有不变量等。第26页，课件共97页，创作于2023年2月一点的应变状态可以用几个应变分量描述，一般可以用应变张量表示：第27页，课件共97页，创作于2023年2月300Х0.025

模拟软、硬顶板下开采煤层底板的变形和受力情况两侧各留80m，开采120m，分6步开挖完毕实例分析（用ADINA软件）第28页，课件共97页，创作于2023年2月岩性E（MPa）μρ（kg/m3）φ（0）C（MPa）σt（MPa）硬顶356000.2026504112.706.21软顶27000.232100408.131.80软煤15000.381300201.200.64软底29000.242600408.621.93第29页，课件共97页，创作于2023年2月第30页，课件共97页，创作于2023年2月（a）不同顶板岩性对底板竖直应力的影响

第31页，课件共97页，创作于2023年2月（c）不同顶板岩性对底板最大剪应力的影响

第32页，课件共97页，创作于2023年2月第二节岩土介质弹塑性本构关系一、岩土介质本构关系基本类型二、增量塑性理论简介三、常用的弹塑性模型主要内容：第33页，课件共97页，创作于2023年2月一、岩土介质本构关系基本类型本构关系的基本概念：岩土介质在外力（广义）作用下，产生应力与应变。普遍的应力—应变关系即称为本构关系。材料的本构关系可以表示为

σij=f(εij,t,T,应力历史，等)(3-16)

式中t——加载历时；

T——温度第34页，课件共97页，创作于2023年2月

弹性力学中的广义胡克定律就是最简单的材料本构关系，它不计时间、温度、应力历史和应力路径，应力和应变之间存在唯一的对应关系。当材料应力超出弹性范围而进入塑性阶段时，应力和应变之间就没有唯一的对应关系，而受应力历史或应力路径的影响，这时材料的应力应变关系就称为塑性本构关系。塑性本构关系要比弹性本构关系复杂得多，如果再考虑材料应力应变关系随时间和温度变化，则其本构关系将更复杂。第35页，课件共97页，创作于2023年2月σij=f(εij,t,T,应力历史，等)弹塑性本构关系弹性本构关系第36页，课件共97页，创作于2023年2月岩土介质应力应变关系典型试验曲线(1)线弹性(2)非线性弹性(3)线性弹塑性(4)非线性弹塑性tttt(5)粘弹性硬化软化理想塑性应变软化应变硬化蠕变松弛要理解掌握第37页，课件共97页，创作于2023年2月二、增量塑性理论简介（一）屈服条件（二）加载条件（三）加载和卸载准则（四）流动法则（五）一般的弹塑性本构关系第38页，课件共97页，创作于2023年2月(一)屈服条件屈服条件是表示在复杂应力状态下，材料进入初始屈服时应力分量之间所必须满足的条件。如果以应力｛σ｝作为坐标轴，屈服条件用f(｛σ｝)=0表示，则应力空间中f=0的一个曲面称为屈服曲面。当应力点｛σ｝位于曲面之内(f＜0)，材料处于弹性状态；当应力点位于曲面上(f=0)，材料开始屈服进入塑性状态。第39页，课件共97页，创作于2023年2月这样可以分清平均应力(或静水压力)与偏应力(或剪应力)对体应变与偏应变的贡献。屈服条件也可以表示为主应变或应变不变量的函数，由于两种形式通过本构关系可以互换，因此以下将采用应力屈服函数的形式。假定材料是各向同性的，屈服条件将与坐标轴的选取无关，因此可以表示成只是应力不变量的函数，例如：第40页，课件共97页，创作于2023年2月岩土介质常用的屈服条件：1.莫尔—库仑（Mohr-Coloumb）屈服条件2.德鲁克—普拉格（Drucker-Prager）屈服条件第41页，课件共97页，创作于2023年2月1.莫尔—库仑(M-C)屈服条件莫尔－库仑屈服条件可以表示为τ=c+σntan(3-18)式中τ、σn——破坏面上的剪应力与法向正应力；

c、——材料的粘聚力和内摩擦角。第42页，课件共97页，创作于2023年2月τ=c+σntg(3-18)第43页，课件共97页，创作于2023年2月图屈服面与屈服轨迹(a)空间屈服面；(b)偏平面屈服迹线莫尔—库仑屈服面——六棱锥面，棱边上导数的方向不定，在计算中带来不便。为此，德鲁克和普拉格对其进行了改进，提出用一个内切于莫尔—库仑条件六棱锥面的圆锥面来作为屈服面第44页，课件共97页，创作于2023年2月图屈服面与屈服轨迹(a)空间屈服面；(b)偏平面屈服迹线第45页，课件共97页，创作于2023年2月2.德鲁克—普拉格(D-P)屈服条件德鲁克—普拉格屈服函数可以表示为:第46页，课件共97页，创作于2023年2月广义Mises屈服条件第47页，课件共97页，创作于2023年2月

综合分析岩土数值分析中常用的莫尔-库仑屈服条件和德鲁克-普拉格屈服条件的相关函数表达式、数值模拟中需要的主要物理力学参数和在主应力空间中的物理意义（结合相关屈服条件图进行综合分析）。3.M-C与D-P屈服条件的比较

屈服条件是表示在复杂应力状态下，材料进入初始屈服时应力分量之间所必须满足的条件。如果以应力｛σ｝作为坐标轴，屈服条件用f(｛σ｝)=0表示，则应力空间中f=0的一个曲面称为屈服曲面。当应力点｛σ｝位于曲面之内(f＜0)，材料处于弹性状态；当应力点位于曲面上(f=0)，材料开始屈服进入塑性状态。第48页，课件共97页，创作于2023年2月莫尔－库仑屈服条件可以表示为：（1）莫尔—库仑(M-C)屈服条件第49页，课件共97页，创作于2023年2月第50页，课件共97页，创作于2023年2月（2）德鲁克—普拉格(D-P)屈服条件第51页，课件共97页，创作于2023年2月第52页，课件共97页，创作于2023年2月第53页，课件共97页，创作于2023年2月第54页，课件共97页，创作于2023年2月FLAC3D中的本构模型第55页，课件共97页，创作于2023年2月（二）加载条件在复杂应力状态下，材料进入塑性状态后卸载，当再加载时，屈服函数会随着以前发生过的塑性变形的历史而有所改变。当应力分量满足某一关系时，材料将重新进入塑性状态而产生新的塑性变形，这种现象叫做加载屈服。材料在初始屈服以后再进入塑性状态时应力分量间所必须满足的函数叫做加载条件，用φ=0来表示，在应力空间中相应的曲面称为加载面。对于理想塑性材料，加载面等于屈服面。第56页，课件共97页，创作于2023年2月加载函数虽然仍可以用应力{σ}或应力不变量作变量，但还依赖于塑性应变的过程，一般可以表示为式中：Hα—硬化参量。常用的加载面的二种模型：

(1)等向硬化模型

(2)随动硬化模型第57页，课件共97页，创作于2023年2月(1)等向硬化模型，认为加载面在应力空间中的形状和中心位置保持不变，随着强化程度的增加，初始屈服面作形状相似的扩大。如图所示。(2)随动硬化模型，认为在塑性变形过程中，加载面的大小、形状与初始屈服面相同，只是在应力空间中沿塑性变形方向作刚体移动，如图所示。第58页，课件共97页，创作于2023年2月（三）加载和卸载准则材料进入屈服后，加载状态和卸载状态的本构关系是不同的。因此，在弹塑性分析过程中，需要随时了解材料屈服后的受载状态，以便确定相应的本构关系。在单向受力状态下，可简单地根据应力的增减来判断；而复杂应力状态下，则应根据加载函数的增减来判断。第59页，课件共97页，创作于2023年2月理想弹塑性材料的加载与卸载准则理想弹塑性材料的屈服面位置和形状是不变的。当应力保持在屈服面上时称为加载，这时塑性变形增大。当应力点从屈服面改变到屈服面内部时，称为卸载。ndσ卸载dσ加载屈服面第60页，课件共97页，创作于2023年2月应变强化材料dσ加载dσ中性变载dσ卸载n加载面第61页，课件共97页，创作于2023年2月（四）流动法则(增量理论)塑性状态下的本构关系与初始弹性范围内本构关系最主要的区别在于应力应变间没有一一对应关系。但在某一给定状态下，有一个应力增量，相应地必有唯一的应变增量。因此，在一般塑性变形条件下，只能建立应力应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的材料本构关系，称为增量理论或流动法则。第62页，课件共97页，创作于2023年2月假设材料在不同应力状态下含有不同的塑性应变能即塑性位势Q；在主应力空间中，把同量塑性位势的点连起来得到一个塑性势面；在塑性势面上任一点的塑性应变增量与塑性位势函数的梯度方向一致，即:上式称为塑性位势理论或流动法则。第63页，课件共97页，创作于2023年2月其中Q为塑性位势函数，是应力分量和硬化参量的函数。如果Q取为加载函数φ或屈服函数f，称为相适应的流动法则；反之，称为不相适应的流动法则。目前在岩土工程与工程地质非线性分析中，大多采用相适应的流动法则。第64页，课件共97页，创作于2023年2月硬化规律是指塑性变形（流动）以后，屈服面的位置发生了变化，如何修正屈服面。对于土壤和岩石材料，采用Drucker—Prager模式，经常加一个帽，表示静水压力下的屈服。（五）一般的弹塑性本构关系第65页，课件共97页，创作于2023年2月

其中弹性应变增量可由线弹性本构关系确定，塑性应变增量则由流动法则确定。即：(3-33)（五）一般的弹塑性本构关系第66页，课件共97页，创作于2023年2月

若材料屈服时，应力分量满足下列一般条件。即：

将上式写成微分形式得：(3-37)第67页，课件共97页，创作于2023年2月把式（3-33）变换后代人式（3-37）：(3-41)参数A称为硬化函数，是硬化参量Ha的函数。第68页，课件共97页，创作于2023年2月三、常用弹塑性模型举例理想塑性的弹塑性模型。假设：岩土体为具有理想塑性状态的材料，A=0；满足相适应的流动法则，Q=f。临界状态模型。第69页，课件共97页，创作于2023年2月（一）基于理想塑性的弹塑性模型第70页，课件共97页，创作于2023年2月（二）临界状态模型(帽盖模型)临界状态模型中最简单的是德鲁克等人1957年首先提出的仅反映岩土硬化特性的帽盖模型固定屈服面是表示材料屈服的极限状态，达到该状态时，材料已临近破坏。它可用莫尔—库仑或德鲁克—普拉格屈服函数来表示，写成一般形式，即帽盖屈服面函数的一般形式为第71页，课件共97页，创作于2023年2月硬化规律是指塑性变形（流动）以后，屈服面的位置发生了变化，如何修正屈服面。对于土壤和岩石材料，采用Drucker—Prager模式，经常加一个帽，表示静水压力下的屈服。第72页，课件共97页，创作于2023年2月第三节非线性问题的有限元解法一、迭代法（讲解）二、增量法三、弹塑性问题的有限元解法主要内容：第73页，课件共97页，创作于2023年2月一、迭代法（一）基本概念（二）牛顿迭代法（三）修正牛顿迭代法第74页，课件共97页，创作于2023年2月（一）基本概念简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程g(δ)=0变换为δ=(δ),然后建立迭代格式，

当给定初值δ

0后,由迭代格式可求得数列{δ

n}。如果{δ

n}收敛于§，则它就是方程的根。因为：

第75页，课件共97页，创作于2023年2月迭代法收敛的几何意义第76页，课件共97页，创作于2023年2月迭代法发散的几何意义第77页，课件共97页，创作于2023年2月（二）牛顿迭代法

用迭代法可逐步精确方程根的近似值，但必须要找到的等价方程,如果选得不合适,不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代公式发散。能否找到一种迭代方法,既结构简单,收敛速度快,又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。

第78页，课件共97页，创作于2023年2月

对于方程，设其近似根为，函数f(x)可在附近作泰勒展开

忽略高次项,用其线性部分作为函数f(x)的近似，

设的根,则有,即将右端取为,即是比更接近于的近似值这就是著名的牛顿迭代公式第79页，课件共97页，创作于2023年2月牛顿迭代法的几何解释

方程f(x)=0的根x*是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标,设xk是根x*的某个近似值,过曲线y=f(x)的横坐标为xk的点Pk=(xk,f(xk))引切线交x轴于xk+1,并将其作为x*新的近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0的根,所以亦称为牛顿切线法。第80页，课件共97页，创作于2023年2月（三）修正牛顿迭代法

为了避免在每一个迭代步骤中都要重新计算刚度矩阵及其逆矩阵，可采用修正牛顿迭代法。即在迭代过程中恒将取为第一次循环的，则迭代公式可变为：第81页，课件共97页，创作于2023年2月二、增量法

增量法是将作用在受力体系上的荷载划分为若干荷载增量，这些增量可以相等，也可以不等，例如分成n级施加，即：第82页，课件共97页，创作于2023年2月三、弹塑性问题的有限元解法求解时，采取逐步增加荷载的办法，每次增加的载荷尽量小，用求解一系列线性问题来代替求解非线性问题求解的方法即增量法增量切线刚度法增量初应力法增量初应变法第83页，课件共