山东省青岛市第十一中学高三数学文上学期摸底试题含解析

山东省青岛市第十一中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（

）A． B． C． D．参考答案：D2.m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m?α，m⊥β，则α⊥β D．若m?α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与β平行或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与β相交、平行或m?β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m?β，故B错误；在C中，若m?α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m?α，α⊥β，则m与β相交、平行或m?β，故D错误．故选：C．3.已知函数。若，则实数的值等于（

）

A.-3

B.-1

C.1

D.3参考答案：A略4.函数，在区间上有最小值，则函数在区间上一定（

） A.是减函数 B.是增函数 C.有最小值 D.有最大值

参考答案：B略5.已知等比数列满足：，，则的通项公式（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.函数y=（ex﹣e﹣x）?sinx的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用0＜x＜π时的函数值，判断即可．解答：解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）（﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函数f（x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函数，排除B、C；当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．∴A满足题意．故选：A．点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．7.在图21－6的算法中，如果输入A＝138，B＝22，则输出的结果是()图21－6A．2

B．4

C．128

D．0参考答案：A8.已知向量满足：且则向量与的夹角是(

)

参考答案：D略9.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.如果过曲线上的点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为A、（1,0）

B、（0，-1）

C、（1,3）

D、（-1,0）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数（其中，是虚数单位），则的值为

参考答案：【知识点】复数相等的条件.L4答案2

解析：=，所以，则，故答案为2.【思路点拨】先利用复数相等的条件求出，再得到即可。12.设…，则…＝

．

参考答案：略13.若，则的解集为

．参考答案：14.过点引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于___________.参考答案：略15.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围

.参考答案：16.已知圆与圆交于两点，则所在直线的方程为

参考答案：2x+y=0

17.函数的定义域为

．

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的一个顶点为，且焦距为2，直线交椭圆于、两点（点、与点不重合），且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）为坐标原点，若点满足，求直线的斜率的取值范围.参考答案：（1）依题意，，，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线垂直于轴时，由消去整理得，解得或，此时，直线的斜率为；当直线不垂直于轴时，设，，直线：，由，消去整理得，依题意，即，且，，又，所以，所以，即，解得满足，所以，故.故直线的斜率，当时，，此时；当时，，此时；综上，直线的斜率的取值范围为.19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．参考答案：【考点】组合几何体的面积、体积问题；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；（II）利用线线平行证明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可证面面平行；（III）把多面体分割成四棱锥A﹣BDEF和四棱锥C﹣BDEF，分别求出体积，再求和．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）证明：在△CEF中，∵G、H分别是CE、CF的中点，∴GH∥EF，又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，∴GH∥平面AEF，设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，∵OA=OC，CH=HF，∴OH∥AF，又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，∴OH∥平面AEF．又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，∴平面BDGH∥平面AEF．（Ⅲ）由（Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．∴多面体ABCDEF的体积V=8．【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．20.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;（Ⅱ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;（Ⅲ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。参考答案：解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0．44．（Ⅱ

）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0．10．20．30．20．2L2的频率00．10．40．40．1（Ⅲ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。由（Ⅱ）知P（A1）

=0．1+0．2+0．3=0．6P（A2）=0．1+0．4=0．5，P（A1）>P（A2）甲应选择L1P（B1）

=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（Ⅲ）过椭圆的左顶点做直线，与圆相交于两点、，若是钝角三角形，求直线的斜率的取值范围。参考答案：（Ⅰ）由 ………………2分

由直线所以椭圆的方程是

…4分（Ⅱ）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。

…………8分

（Ⅲ）由（1），得圆O的方程是设得

则

……………9分

由

①…………10分因为所以

②……12分由A、R、S三点不共线，知。

③由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是……14分（注：其它解法相应给分）22.已知函数f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ex，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）?x1∈，?x2∈，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．解答： 解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f（x）=exsinx﹣cosx，∴f′（x）=ex（sinx+cosx）+sinx，∵x∈（0，），∴f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，）上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣ex，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣ex，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣）；（3）x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证exsinx﹣cosx＞xcosx﹣ex，只要证ex（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可