2021年西安交通大学少年班初试数学试题

2021年西安交通大学少年班初试数学试题第一部分：综合试题（60分）一、填空题（6道）1.若$f(m)=4$，则$f(-m)=\underline{4}$.2.如图所示，每一个圆的半径都为2，求圆形外面的周长\underline{$8\pi+4\sqrt{3}$}.3.如图，$\angleA=90^{\circ}$，$AB=AC=22$，$\triangleCDE$折叠到$\triangleFDE$，其中$E$点是$BC$的中点，求$DE$的长\underline{$11\sqrt{3}$}.\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.2\textwidth]{q1.png}\end{figure}4.一列数$a_1,a_2,\dots,a_n$满足$a_1+2a_2+\dots+na_n=n+1$，求$a_1+a_6$的值.5.已知$a,b,c$是$1\sim9$互不相同的整数，求$a+b+c$的最小值.6.直角三角形三边是整数，满足$c=\sqrt{a^2+b^2}$，求$c$的最大值.二、综合大题（4道）1.定义基本不等式：$a+b\geq2ab$，其性质：（1）求$x+\frac{4}{x}$的最小值和对应$x$的值；（2）给定一边长为$x$（$x>0$），求直角三角形面积的最大值.2.新定义：奇异三角形：满足两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形（1）判断：等边三角形都是奇异三角形是不是真命题；（2）若$\triangleABC$为直角三角形，$\angleACB=90^{\circ}$，$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，($b>a$)，求$a:b:c$的值.（3）在$\odotO$中，$BC=CE$，$AD=AE$，$D$是半圆$ADB$的中点，①求证：$\triangleACE$是奇异三角形；②若$\triangleACE$是直角三角形，求$\angleADE$的度数.\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width=0.2\textwidth]{q2.png}\end{figure}3.定义：抛物线的方程$y=2px$，准线$x=-\frac{p}{2}$（$p>0$）.（1）求准线$l:x=-2$时，抛物线$C$的方程；（2）在（1）的条件下，若$M(x,y)$是抛物线上的点，求$x+1+\frac{y+1}{2}$的最小值.4.设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c$.（1）$a=1$，$b=-1$时，求$-1\leqx\leq1$时，$y$的取值范围；（2）若$-1\leqx\leq1$时，$ax^2+bx+c$有且仅有一个解，求$a$的取值范围.第二部分：创新题（40分）材料阅读：集合的定义，子集、空集、$|$集合的有序对$|$“关系”（表示法：$A,xPy$），引入偏序概念，性质：自反性，反对性，传递性2.填空题3道（1）集合$A=\{\varnothing,1,2\}$有\underline{6}个“关系”，有\underline{13}个偏序；（2）集合$A=\{1,2,\dots,n\}$中，偏序关系的个数为$2^{n-1}$.3.证明题3道1.求证集合P={(x,y)∈R;x,y∈N}是偏序。要证明P是偏序，需要满足以下三个条件：1）自反性：对于任意的(x,y)∈P，都有(x,y)≤(x,y)。2）反对称性：对于任意的(x,y),(a,b)∈P，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(x,y)，则有(x,y)=(a,b)。3）传递性：对于任意的(x,y),(a,b),(c,d)∈P，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(c,d)，则有(x,y)≤(c,d)。首先考虑自反性，由于x和y都是自然数，所以显然有x≤x和y≤y，因此(x,y)≤(x,y)。接下来考虑反对称性，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(x,y)，那么x≤a且y≤b，同时a≤x且b≤y，因此x=a且y=b，即(x,y)=(a,b)。最后考虑传递性，如果(x,y)≤(a,b)且(a,b)≤(c,d)，那么x≤a且y≤b，同时a≤c且b≤d，因此x≤c且y≤d，即(x,y)≤(c,d)。因此，集合P是偏序。2.略3.略4.设f(x)=x^2+3x+2，求f(x)在[-2,1]上的最小值。首先求出f(x)的导数f'(x)=2x+3，令其等于0，得到x=-3/2。由于f'(x)在[-2,1]上单调递增，因此x=-3/2