初二数学北京版基本作图2

基本作图（2）

初二年级数学北京市中小学空中课堂已知：∠AOB.求作：射线OC，使它平分∠AOB.思考探究已知：∠AOB.求作：射线OC，使它平分∠AOB.如何作图？依据？思考探究∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分线思考探究∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分线∠COA=∠AOBOA是∠COB的平分线OA是怎么构造出来的？思考探究思考探究OC=OEOC=OECD=EDOC=OEOD=ODCD=EDOC=OEOD=ODCD=ED△COD≌△EOD∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOA是∠COB的平分线∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOA是∠COB的平分线∠1=∠2△COD≌△EODOC=OEOD=ODCD=EDOC=OEOC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=ED?OC=OECD=EDOD=ODOC=OECD=ED△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=EDOA是∠COB的平分线∠1=∠2△COD≌△EODOD=ODOC=OECD=ED已知：∠AOB.求作：射线OC,使它平分∠AOB.基本作图：作角的平分线收获新知

作法：（1）以O点为圆心，任意长为半径作弧，交OA

于D，交OB于E；（2）分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；

作法：（1）以O点为圆心，任意长为半径作弧，交OA

于D，交OB于E；（3）作射线OC；则射线OC就是所求作的射线.（2）分别以D，E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；

作法：（1）以O点为圆心，任意长为半径作弧，交OA

于D，交OB于E；

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究猜想：PM=PN思考探究

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP△MOP≌△NOP

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？思考探究分析：OC平分∠AOB∠1=∠2PM⊥OA

PN⊥OB∠3=∠4=90°OP=OP△MOP≌△NOPPM=PN

如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系？收获新知角平分线的定理1

角平分线上的点到角两边的距离相等.∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN.收获新知角平分线的定理1

角平分线上的点到角两边的距离相等.符号语言：

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

思考探究思考探究

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

Rt△MOP≌Rt△NOPPM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

∠1=∠2PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形Rt△MOP≌Rt△NOP

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

P点在∠AOB的平分线上PM=PNOP=OP思考探究△MOP和△NOP是直角三角形∠1=∠2Rt△MOP≌Rt△NOP

如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P在什么位置？

收获新知角平分线的定理2

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.收获新知∵P在∠AOB内部，

PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，∴OP平分∠AOB.符号语言：角平分线的定理2

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.例题解析例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.分析：例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CB分析：例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CB分析：∠B=

45°

∠C=

90°

CA=CB分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BE分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥AC

分析：DE⊥AB

∠B=

45°

例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥ACDC=DE分析：DE⊥AB∠B=

45°

例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.∠C=

90°

CA=CBDE=BEAD平分∠BACCD⊥ACDC=DEDC=BE分析：DE⊥AB∠B=

45°

例

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=

90°，CA=CB，AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E.求证：DC=BE.证明：∵∠C=

90°，

CA=CB，

∴∠B=∠BAC=45°.∵∠DEB=90°，

∴DE=BE∵AD平分∠BAC，

DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DC=DE∴DC=BE.(角平分线上的点到角两边的距离相等).∴∠EDB=90°-∠B=45°∴∠EDB=∠B.

(直角三角形的两个锐角互余).(等角对等边).思考探究思考探究OD=OE思考探究OD=OEOC平分∠AOBOC垂直平分DE思考探究P是线段DE的中点思考探究CF经过线段DE的中点PCF⊥DEP是线段DE的中点思考探究直线CF是线段DE的垂直平分线CF经过线段DE的中点PCF⊥DEP是线段DE的中点思考探究直线CF是线段DE的垂直平分线怎么作一条线段的垂直平分线呢？CF经过线段DE的中点PCF⊥DEP是线段DE的中点思考探究思考探究作法的依据是什么呢？探索依据AC=BCAD=BD探索依据AC=BCAD=BDCD=CD探索依据AC=BCAD=BDCD=CD探索依据△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2探索依据△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2△ACB是等腰三角形探索依据△ACD≌△BCDAC=BCAD=BDCD=CD∠1=∠2△ACB是等腰三角形CD是AB的垂直平分线探索依据△ACD≌△BCD已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.收获新知基本作图：作线段的垂直平分线

作法：（1）分别以A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C，D；

作法：（1）分别以A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C，D；（2）作直线CD.

作法：（1）分别以A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C，D；（2）作直线CD.则直线CD就是所求作的直线.

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？思考探究猜想：PA=PB思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，∵OP=OP，∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，∵OP=OP，∴△POA≌△POB.∴∠1=∠2=

90°，OA=OB.思考探究

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，连接PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系？证明：∵CD是线段AB的垂直平分线，∵OP=OP，∴△POA≌△POB.∴PA=PB.线段垂直平分线的定理1收获新知线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的定理1收获新知∵CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上一点，∴PA=PB.符号语言：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究△PAB是等腰三角形如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究△PAB是等腰三角形如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究分析：如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究分析：PA=PBPC⊥ABPC平分AB如图，PA=PB，P点落在什么位置呢？思考探究分析：PA=PBPC⊥ABPC平分ABP点在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线的定理2收获新知到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的定理2收获新知∵PA=PB，∴P点在线段AB的垂直平分线上.符号语言到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析例题解析分析：例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分析：AC=AD例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分析：AC=ADA点在线段CD的垂直平分线上例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分析：AC=ADA点在线段CD的垂直平分线上BC=BD例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分析：AC=ADA点在线段CD的垂直平分线上BC=BDB点在线段CD的垂直平分线上例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分析：AC=ADA点在线段CD的垂直平分线上BC=BDB点在线段CD的垂直平分线上AB是线段CD的垂直平分线例

已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点.求证：EC=ED.例题解析分