同济版大一高数第十一章第二节对坐标曲线积分课件

高等数学第二十一讲1高等数学第二十一讲1第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分第十一章2第二节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.3一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在41)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n个小弧段的最大长度)53)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作62.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,7若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y1).存在条件：2).组合形式81).存在条件：2).组合形式83.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!93.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有思想方法：统一变量化为定积分,积分限由起点到终点。利用变量代入法可得上式左边＝右边证明：10二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有11特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有1例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.12例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为或取L的方程为则则13例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(2)取L的方程为则14例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的例3：计算：其中L为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).解：15例3：计算：其中L为折线OABO,O(0,0)例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程16例4.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的例5.

设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)17例5.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向(2)令利用“偶倍奇零”18(2)令利用“偶倍奇零”18例6.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为19例6.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系20三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令21类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令21例122例122例2.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周23例2.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周23二者夹角为

例3.设曲线段L的长度为s,证明连续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上24二者夹角为例3.设曲线段L的长度为s,证明连续,1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结251.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧263.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧264.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧

:274.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:27点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与