山东省临沂市沂蒙中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省临沂市沂蒙中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{an}：首次出现时为数列{an}的A.第44项 B.第76项 C.第128项 D.第144项参考答案：C【分析】从分子分母的特点入手，找到出现前的所有项，然后确定的项数.【详解】观察分子分母的和出现的规律：，把数列重新分组：，可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.3.已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为A．16

B．8

C．4

D．2参考答案：C4.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁参考答案：A本题考查学生的逻辑推理能力.由四人的预测可得下表:中奖人预测结果甲乙丙丁甲????乙????丙????丁????1.

若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意2.

若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意3.

若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意4.

若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选A5.“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若y=sin（x+φ）关于y轴对称，则φ=+kπ，k∈Z，故“φ=”是“曲线y=sin（x+φ）关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6.某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是

A．2

B．4

C．

D．参考答案：C7.设函数满足则时，A.有极大值，无极小值

B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值

D既无极大值也无极小值参考答案：D略8.下列命题中是假命题的是（

）A．

B．

C．上递减D．都不是偶函数

参考答案：D略9.设，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的

（

）A.充分不必要条件

B．必要不充分条件

C.充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略10.已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

设为锐角，若，则的值为

▲

．参考答案：12.i是虚数单位,若是纯虚数,则实数a的值为______.参考答案：－2【分析】对复数进行化简计算，再根据纯虚数的定义，得到的值.【详解】因为复数为纯虚数，所以，得.故答案为：－2.【点睛】本题考查复数的计算，根据复数类型求参数的值，属于简单题.13.在中，若，则参考答案：由余弦定理知，所以14.一个袋中装有质地均匀，大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，则恰有1个是白球的概率为，从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数的数学期望Eξ是

．参考答案：，1.8

【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】从袋中一次任意摸出2个球，基本事件总数n==10，恰有1个是白球包含的基本事件个数m==6，由此能示出恰有1个是白球的概率；从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：一个袋中装有质地均匀，大小相同的2个黑球和3个白球，从袋中一次任意摸出2个球，基本事件总数n==10，恰有1个是白球包含的基本事件个数m==6，∴恰有1个是白球的概率为p==．从袋中一次任意摸出3个球，摸出白球个数ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴数学期望Eξ=1×=1.8．故答案为：，1.8．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．15.若数列的通项公式，记，试推测_________

参考答案：16.在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离

．参考答案：217.等差数列中，,，则数列的公差为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求函数的图象经过的定点坐标；（2）当时，求函数单调区间；（3）若对任意,恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】(1)当时，，,可得定点坐标；（2）当时，，对求导，可得，，可得切线的方程，再根据导函数的正负，可得单调区间；（3）对求导求导，讨论和的单调性，进而求出，可得实数的取值范围【详解】解：（1）当时，，，所以函数的图象经过定点。（2）当时，，，，则切线方程为。令，得(负值舍去），所以的单调递增区间为，单调递减区间为（3）当时，，在上单调递增，，所以不恒成立，不符合题意；当时，设，，因为图象的对称轴为，，所以在上单调递增，且存在唯一，使得，所以当时，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，所以在上的最大值，所以。【点睛】本题主要考察导数的概念及其几何意义和导数在研究函数中的应用，注意分类讨论思想在解题中的运用.19.本小题满分12分）已知函数,

（1）若，求函数在点处的切线方程；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，

当时，，

，，,切点，斜率∴函数在点处的切线方程为…………4分（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增．

…………8分

20.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有名学生被考官L面试，求的分布列和数学期望.

参考答案：(1)

第三组的频率为0.065=0.3；第四组的频率为0.045=0.2；第五组的频率为0.025=0.1.

……3分(2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试则:

P(A)=

……6分(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量可能的取值为0,1,2.

…………7分且，则随机变量的分布列为:012P

……10分

……12分21.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy

中，曲线C1的参数方程为:（为参数），M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点，x

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.参考答案：（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以

从而的参数方程为（为参数）

（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。所以.22.已知函数．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数，求函数h（x）的极值；（Ⅲ）若在[1，e]（e＝2．71828…）上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝,

f（1）＝1,

则切点为（1,1），………1分∵,∴切线的斜率为,

……2分∴曲线f（x）在点（1,1）处的切线方程为y?1＝?（x?1），即x+y?2＝0…3分（Ⅱ）依题意，定义域为（0,+∞），∴,

……4分①当a+1＞0，即a＞?1时，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+a,此时，h（x）在区间（0,a+1）上单调递增，令，得x＞1+a．此时，h（x）在区间（a+1,+∞）上单调递减．

……5分②当a+1≤0，即a≤?1时，恒成立，h（x）在区间（0,+∞）上单调递减．

………6分综上，当a＞?1时，h（x）在x＝1+a处取得极大值h（1+a）＝，无极小值；当a≤?1时，h（x）在区间（0,+∞）上无极值．

………7分（Ⅲ）依题意知，在[1,e]上存在一点x0，使得成立,即在[1,e]上存在一点x0，使得h（x0）≥0，故函数在[1,e]上，有h（x）max≥0．

………………8分由（Ⅱ）可知，①当a+1≥e,即a≥e?1时，h（x）在[1,e]上单调递增，∴,∴,∵，∴．

………9分②当0＜a+1≤1，或a≤