河北省石家庄市德才中学高三数学文联考试题含解析

河北省石家庄市德才中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间［0,2］上是增函数，则当时不等式参考答案：A2.已知tanθ=2，则sinθcosθ=(

)A． B． C．± D．±参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．【解答】解：∵tanθ=2，则sinθcosθ===，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．3.设全集I是实数集R，与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（

）

A. B.

C.

D.参考答案：试题分析：因为，所以又因为，所以所以阴影部分为故答案选考点：集合的表示；集合间的运算.4.如果随机变量,且,则等于(

)A.0.0215 B.0.723 C.0.215 D.0.64参考答案：A【分析】由题意可得，再根据正态分布的三个常用数据，即可得出结果.【详解】由随机变量,且，可得，又,,所以故.【点睛】本题主要考查正态分布，由正态分布的三个常用数据即可求解，属于基础题型.5.已知集合，集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.设命题p：函数的最小正周期为；命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是A.为真

B.为假

C.为假

D.为真参考答案：C略7.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣x2，∴f（x）﹣x2=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x≤0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣x2≥f（1﹣x）+x﹣x2，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）==0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=ex-，∴h（x）在R上单调递减．∴h（x）min=h（）=﹣a≤0即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像(

)A.向左平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向右平移个长度单位参考答案：B9.已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A10.规定表示不超过的最大整数，，若方程有且仅有四个实数根，则实数的取值范围是

（）A、 B、 C、 D、参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是

．参考答案：12.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为

．参考答案：π【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．【解答】解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4×=，∴r=，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为=π．故答案为：π．【点评】本题考查锥体的体积，考查等体积的运用，比较基础．13.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．参考答案：8【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为：8【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．14.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为____________.参考答案：略15.如图，在四边形ABCD中，＝λ（λ∈R），｜｜＝｜｜＝2，｜－｜＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形，则·的值为_____．参考答案：-416.已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为

．参考答案：因为，，所以,所以当且仅当时取等号，因此,所以向量与的夹角的余弦值为

17.如图，四面体中，两两垂直，且

.给出下列命题：①存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；②存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；⑤存在无数个点，使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是

▲

．（把你认为正确命题的序号都填上）

参考答案：①②⑤略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题14分）已知函数(1)当时,求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最小值；(3)在(1)的条件下，设,证明：.参考数据：.参考答案：(Ⅰ)当时，，或。函数的单调增区间为……4分(Ⅱ)，当，单调增。当，单调减.单调增。当，单调减，

……9分19.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，＜e．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】证明题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间；（Ⅱ）应用参数分离得a＞，求出在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可；（Ⅲ）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（Ⅰ）的函数，求出最大值﹣1，得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，∴f′（x）=﹣a，又函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，）上是增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（，+∞）上是减函数；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+∞）上是减函数；（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即a＞在（0，+∞）上恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为，所以a的取值范围是（，+∞）；（Ⅲ）要证当x∈（0，+∞）时，＜e，可设t=1+x，t∈（1，+∞），只要证，两边取以e为底的对数，得，即lnt＜t﹣1，由（Ⅰ）当a=1时的情况得f（x）=lnx﹣x的最大值为﹣1，此时x=1，所以当t∈（1，+∞）时lnt﹣t＜﹣1，即得lnt＜t﹣1，所以原不等式成立．【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题．20.（本小题12分）已知函数f（x）=sinx（2cos2﹣1）+cosx?sinθ（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）若f（2x﹣）=，且x∈（π，π），求sin2x的值．参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦．C6

C7【答案解析】(1)；（2）解析：（1）f（x）=sinxcosθ+cosx?sinθ=sin（x+θ）在处取最小值，∴，∴（2）∴由∴∴===【思路点拨】（1）化简得f（x）=sin（x+θ）从而可求θ的值；（2）若f（2x﹣）=，且x∈（π，π），可先求，从而可求sin2x的值．21.设函数 （1）求函数的极值点;（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围;（3）证明：参考答案：（1）∵，∴的定义域为，当时，，在上无极值点.当，令、随的变化情况如下表：x+0

-递增极大值递减

从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在处却极大值，此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。(3)令p=1,由（2）可知，lnx-x+10，即lnxx-1.()

==.略22.已知平面直角坐标系上