七年级数学上册培优专题05 细究整式的的规律探究题-解析版

/培优专题05细究整式的的规律探究题【专题精讲】专题精讲近年来与整式相关的中考题,改变了以往单一的整式计算,出现了整式的规律探究题,这类题新颖别致,主要考查数感对于图形的理解以及观察问题和解决问题的能力.对给出的式或图认真观察、大胆猜想、反复验证,找到其中内在的规律,是解决此类问题的关键。一、探究常见类型(1)单项式的系数及次数变化类;(2)多项式的项及次数变化类;(3)数字变化规律类;(4)图形变化规律类.二、数式常见规律一般地,用n表示正整数,从1开始,偶数用2n表示,奇数用2m-1或2m+1表示①正方形数:1,4,9,16,…,n²;②三角形数:1,3,6,10，n③连续奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)＝n²④连续偶数和:2+4+6+…+2n＝n(n+1)⑤连续整数的平方和:1²+2²+3²+…+n²=16⑥连续整数的立方和:1³+2³+3³+…+n³=14n²(n+1)◎类型一：单项式的系数及次数变化类1．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：3，，，，，…，第8个单项式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数，单项式中a的指数偶数，b的指数不变，所以第8个单项式是：．故选：A．【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键．2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）观察下面一列数：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-6x6，……，根据你发现的规律，第n个数是（

）A．nxn B．-nxn C． D．【答案】D【分析】通过观察可以发现：各单项式的系数的绝对值是连续的正整数，且奇数是正数，偶数为负数，字母指数与该项序号相同，即可解答．【详解】通过观察可以发现第n个数是，故选D．【点睛】本题考查单项式的变化规律．观察得出各单项式的系数和次数的变化规律是解题关键．3．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式【详解】解：，，，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了数字的变化规律，判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键．4．（2022·辽宁大连·七年级期末）按一定规律排列的单项式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-7x6，…第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值是从2开始的连续整数，次数是连续整数，由此可解出本题．【详解】解：第1个单项式是2x=（-1）1+1（1+1）x1，第2个单项式是-3x2=（-1）2+1（1+2）x2，第3个单项式是4x3=（-1）3+1（1+3）x3，•••，第n个单项式是（-1）n+1（n+1）xn．故选：D．【点睛】本题考查单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．◎类型二：多项式的项及次数变化类5．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）一组按规律排列的多项式：，，，，……，其中第10个式子的次数是（

）A．10 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】通过已知多项式找出规律，判定出第10个多项式，然后根据多项式次数的定义即可得出结论．【详解】解：第1个多项式为：=；第2个多项式为=；第3个多项式为=；第4个多项式为=；故第10个式子为，其次数为19故选C．【点睛】此题考查的是探索规律题和求多项式的次数，找出多项式指数的变化规律和掌握多项式次数的定义是解决此题的关键．6．（2022·广东深圳·七年级期末）多项式按规律排列：ab2，a2b3，a3b4……．则第100个多项式的次数是_________．【答案】101【分析】根据已知的式子可以得到每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号是正号，第二项中b的次数是序号加1，据此写出100个多项式即可．【详解】解：一组按规律排列的多项式：a+b，a2+b3，a3+b4，a4+b5…每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项的符号是正号，第二项中b的次数是序号加1，其中第100个式子是a100+b101；次数为101故答案为：101．【点睛】本题考查了多项式的次数，解题关键是发现规律写出多项式，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．7．（2021·全国·七年级课时练习）有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为________．【答案】【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．【详解】解：根据题意，∵，，，，．．．，∴第n个多项式为：；故答案为：．【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．8．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：请写出展开式中间一项的系数（

）A．70 B．64 C．56 D．54【答案】A【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即可求出展开式中间一项的系数．【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，∴中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，∴中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，∴展开式中间一项的系数为70，故选：A．【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．9．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．（a＋b）0＝1（a＋b）1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（

）A．2048 B．1024 C．512 D．256【答案】B【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数知和即可【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23……由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，故选：B．【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键．◎类型三：数字变化规律类10．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．【详解】原数据可转化为：，∴，，，..．∴第n个数为：，∴第10个数为：．故选：A．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．11．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾数每4个一循环，∵2022÷4＝505……2，∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．12．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，第个数据为：当时的分子为，分母为这个数为故选：．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．13．（2020·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【详解】解：，，，，，，…，可记为：第项为：故选A．【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．◎类型四：图形变化规律类14．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（

）A．297 B．301 C．303 D．400【答案】B【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．【详解】解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，……，第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．故选：B．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．15．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（

）A．15 B．13 C．11 D．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．16．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（

）A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．17．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：则：，∴，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【巩固训练】1．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6…按照上述规律第2021个单项式是（

）A．2021x2021 B．4041x2020 C．4041x2021 D．4043x2021【答案】C【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．【详解】解：∵一列单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n个单项式为（2n-1）xn，∴当n=2021时，这个单项式是（2×2021-1）x2021=4041x2021，故选：C．【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．2．（2022·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，则第n个单项式是（

）A．2nxn＋1 B．2nxn－1 C．2nx2n－1 D．2nx2n＋1【答案】C【分析】根据前几个单项式的系数和次数的变化规律求解即可．【详解】解：由题意，各单项式的系数为2n，次数为2n-1，∴第n个单项式是2nx2n－1，故选：C．【点睛】本题考查单项式规律题，单项式的系数、次数，理解题意，准确找到单项式系数和次数的变化规律是解答的关键．3．（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是（

）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．【详解】∵∴个位数4个数一循环，∴，∴，∴的结果的个位数字是：0．故选A．【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．5．（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（）A．59 B．65 C．70 D．7