二次型及其标准形-线性代数课件

求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵的全部不同的特征值。即求齐次线性方程组的基础解系。3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。2.对每个特征值，求出对应的特征向量，这样共可得到个两两正交的单位特征向量4.以为列向量构成正交矩阵有求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：即必须注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。即必须注意：对角阵中例2设求正交矩阵，使得为对角阵。解例2设求正交矩阵，使得当时，由即得基础解系当时，由即得基础解系当时，由即得基础解系当当时，由即得基础解系只需把单位化，得（考虑为什么？）当时，由即得基础解系只需把得正交矩阵有只需把单位化，得只需把单位化，得得正交矩阵有只需把单位化，得只需把单解秩设的特征向量为则例3设3阶实对称矩阵A的特征值为，已知，相对应的特征向量分别为,求的值及矩阵A.解秩设的特征向量为则例3设3阶实对称矩得基础解系思考求A，C还有没有别的取法？得基础解系思考求A，C还有没有别的取法？把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例4：已知方阵的特征值是相应的特征向量是求矩阵把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且可对角化的解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。二次型及其标准形-线性代数ppt课件2.求方阵的幂例5：设求解：可以对角化。齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:2.求方阵的幂例5：设齐次线性方程组为当时，系数矩阵令得基础解系:令求得即存在可逆矩阵,使得齐次线性方程组为当时，系数矩二次型及其标准形-线性代数ppt课件是矩阵A的一个特征值，且向量(1,1,…,1)T⑴是A的λ＝a的对应的特征向量；⑵当A可逆，且a≠0时，A－1的各行元素之和为多少？思考题：设n阶方阵A的各行元素之和为a，试证:矩阵的各行元素之和为多少?是矩阵A的一个特征值，且向量(1,1,…,1)T⑴是A的第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§§5.5二次型其次标准形引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图§5.5二次型其次标准形引言判别下面方程的几何图形是什二次型及其标准形-线性代数ppt课件称为n维(或n元)的二次型.定义含有n个变量的二次齐次函数关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！称为n维(或n元)的二次型.定义含有n个变量例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。为二次型的标准形。例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型取则则二次型可以表示为二次型用和号表示取则则二次型可以表示为二次型用和号表示二次型及其标准形-线性代数ppt课件令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：例如：二次型注：二次型对称矩阵例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。当C是可逆矩阵时,称简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性记作矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，回忆相似关系：比较合同和相似关系(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(5)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。回忆相似关系：比较合同和相似关系(1)相似关系是一种等价关二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：二.化二次型为标准形正交变换法（重点）目标：问题转化为：回忆：此结论用于二次型所以，回忆：此结论用于二次型所以，主轴定理(P191定理6.2.1)主轴定理(P191定理6.2.1)1.正交变换法对二次型存在正交变换，使其中为的特征值。其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。定理：1.正交变换法对二次型存在正交变换，使用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型f

的矩阵(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)写出正交变换取正交（4）写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准型（4）写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准2.解二次型的矩阵为2.解二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。作正交变换X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点：在几何§5.6用配方法化二次型成标准形配方法的步骤

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.§5.6用配方法化二次型成标准形配方法的步骤1.2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项的情形。例2用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：2.配方法⑴同时含有平方项与交叉项的情形。例2用配方令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即为标准形,并求出所作的可逆线性变换.例3用配方法化二次型解令⑵只含交叉项的情形。为标准形,并求出所作的可逆线性变换.例3用配方法化二次型解即令则二次型的标准形为即令则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为得标准形为思考下面做法对吗?得标准形为思考下面做法对吗?思考题：(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；思考题：(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是定理二次型必可化为规范形。证设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换则f化为思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？定理二次型必可化为规范形。证设二次型f(x)=思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2例5设二次型经正交变换化为标准形求(1)a,b;(2)正交变换矩阵Q.解二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得，从而例5设二次型经正交变换化为标准形解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交第六章二次型及其标准型

§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§§6.3正定二次型本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型.在n维的二次型中,如果两个二次型xTAx和yTBy可以互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。§6.3正定二次型本节讨论二次型的分类问题.重点是正什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价的二次型有相同的秩,也就是标准形中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价.例如与不可能等价.因为不存在可逆矩阵C满足因为什么条件决定两个二次型等价？我们知道,等价惯性定理(P196定理6.3.1)

在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型f的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为

惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。惯性定理(P196定理6.3.1)在二

如果n维的二次型f(x)=xTAx其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义化标准形化规范形正定二次型为

正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。

显然，如果f负定，则–f正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。如果n维的二次型f(x)=定理

二次型f(x)=xTAx正定的充要条件是对任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.

(注：书上以后者为定义)证设必要性：设f正定，即对任意x≠0，则，故充分性：反证。如果有某个，取,与矛盾。定理二次型f(x)=xTAx正定的充定理(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即定理(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定的充总结:

二次型f(x)=xTAx为正定二次型(A为正定矩阵)总结:二次型f(x)=xTAx为正定二次型(A为正判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f的矩阵为解判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例2解