单自由度系统受迫振动课件

1.3单自由度系统受迫振动受迫振动——系统在外界激励下产生的振动激励形式——可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为令得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式1.3单自由度系统受迫振动受迫振动——系统在外界激励下产生1微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次方程通解:x1(t)非齐次方程特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x1(t)－有阻尼自由振动运动微分方程的解：特解为:微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次2有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：＊第一部分振动的频率是自由振动频率

；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：＊第3特解为:代入方程解得特解为:代入方程解得4幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数β，s，ζ----称为静力偏移β为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。s是激励频率与固有频率之比，称为频率比。β−s称为幅频特性曲线θ−s称为相频特性曲线幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数β，s，ζ----5结论：（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率6单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出β(s)曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当激振频率相对于系统固有频率很低响应的振幅A

与静位移B相当单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横7（2）当激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在以上两个领域对应于不同ζ值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（2）当激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在8单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（4）当对应于较小ζ

值，β(s)迅速增大当ζ=0β(s)→∞共振振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（4）当对应于较小ζ9单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左振幅无极值（6）当单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，10单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性记:品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点带宽与的关系阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性记:品质因子在共振峰的11单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出θ(s)曲线相频特性曲线（1）当s<<1（ω<<ω0）相位差θ≈0位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（ω>>ω0）θ≈π位移与激振力反相（3）当s≈1ω≈ω0共振时的相位差为，与阻尼无关单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出θ(12【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度ω旋转时系统的稳态振动的位移幅值。【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。13【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系设电机轴心在t瞬时相对平衡位置的坐标为x偏心块的坐标为x+esinωt，质点系动量定理在x方向的投影表达式为整理后得系统的微分方程为【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点14引入微分方程化为标准形式解得令引入微分方程化为标准形式解得令15解得其幅频特性和相频特性曲线解得其幅频特性和相频特性曲线16【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为17【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝对运动），运动微分方程可写为令则微分方程可写成其中微分方程特解：回代得：【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝18由前计算化简可得系统的幅频特性和相频特性为代入引入量纲为1的量:由前计算化简可得系统的幅频特性和相频特性为代入引入量纲为1的19系统的幅频特性为系统的相频特性为系统的幅频特性和相频特性曲线系统的幅频特性为系统的相频特性为系统的幅频特性和相频20单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加回顾：显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减持续等幅振动暂态响应稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段21单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦激励通解：齐次方程通解非齐次方程特解由初始条件确定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况22单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应以系统固有频率振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴23单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应初始条件为零自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴24由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解通解:初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解通解:初始条件响应自25单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段即使在零初始条件下,也有自由振动与受迫振动相伴发生.实际中总是存在着阻尼的影响,因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减,进而消失,最终系统为稳态响应.单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段即使在零初始条件下26单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.解:如果要使系统响应只以为频率振动必须成立:初始条件:单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例:计算初始条件,27例:计算初始条件,以使的响应只以频率振动.单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段解:全解由求一阶导数由例:计算初始条件,以使的响28单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段如果要使系统响应只以为频率振动初始条件:单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段如果要使系统响应只29单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近令为小量考虑稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频30单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为，振幅按规律缓慢变化的振动这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍拍的周期为：图形的包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为，31单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随着t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的响应曲线即使是无阻尼系统，要达到理论上的无穷大振幅，也需要无限长的时间。所以，如果机器的工作运转速度设计在共振转速以上，穿越共振去并没有很大困难，只要穿越的快些就好。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随着t增大，振幅32单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应利用前述相同的方法，可得初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过33单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应经过充分长的时间，作为瞬态响应的前两种振动将消失，只剩下稳态强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴34单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴35单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比坐标：相对基座的位移动力学方程基座运动规律单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激36单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解得：回顾：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解得：回顾：37单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动38单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移为坐标单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移39单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动40单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动可以看出：当时，振幅恒为支撑运动的振幅D当时，振幅恒小于D增加阻尼反而会使振幅增大单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动可以看出：振41单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动42单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：汽车行驶的路程可表示为：则路面的激励频率为由为常数得与成反比空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：汽车行驶43单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动满载时的阻尼比为：空载时的阻尼比为：满载时的频率比：空载时的频率比：记满载时的振幅为空载时的振幅为满载与空载的振幅比为单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动满载时的阻尼44单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计例支座A产生微小竖直振动支座B不动求：质量m的稳态振动振幅解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度固有频率：因

的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动已知梁截面惯45单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结基座位移规律：相对位移绝对位移单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结46单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为ω。x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械47单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动不平衡量引起的离心惯性力设单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动不平衡量引起48单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动49单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1m由自由衰减振动测得阻尼系数为设求：（1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01m，系统的总质量需要增加多少？单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量50单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：（1）共振时的最大振幅（2）若要使共振时的最大振幅0.01m单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：（1）共51单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动偏心质量小结单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动偏心质量小结52单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性。机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比动力学方程：输入：输出：代入得：根据定义，位移阻抗：单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗与导纳工程中常53单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数互为倒数，H(ω)也称为导纳输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应、、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数54机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数。单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征。机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c55单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪惯性式测振仪基础位移x为m相对于外壳的相对位移动力方程：振幅：当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1接近外壳振动的振幅D低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪惯56单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计被测物体的加速度幅值单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪当57单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪另一种分析方法基础位移假定为正弦:x取绝对位移，受力图动力学方程：叠加原理，解为右端两项解之和单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪另58单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪和前述支承运动中的绝对位移法结果相同单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪和59单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振系数η

＝隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振后系统响应单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动60单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离隔振后通过k、c传到地基上的力：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离隔振61单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离62单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离解：频率比：弹性支承的刚度：机器振动的振幅：主动隔振系数：传到地基上的力幅：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离解：63单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速转子的临界转速汽轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率以单盘转子为例单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速64单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速65单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速66单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速67单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速可见，当阻尼比较小时，即使转子平衡得很好（e很小），动挠度f也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速成为临届转速，为：用每分钟转速表示：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速68单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速69单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速70单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应71单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应当作用于系统上所产生的静变形单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应当作用于系72单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应73单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应74单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应分别为第n次谐波激75单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应76单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应77单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应78单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应79单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应80单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应81单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应82单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应83单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应84单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为1/m的自由振动解为无阻尼系统：若单位脉冲力不是作用在时刻t=0，而是作用在

时刻：如果系统在

时刻受到冲量为I0

的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为：单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应系统的单位脉冲响应即85单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应任意非周期激励的响应当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力F(t)看作一系列脉冲力的叠加对于时刻t=τ的脉冲力其冲量为系统受脉冲作用后产生速度增