多元函数微分学-习题课课件

第八章习题课多元函数微分学第八章习题课多元函数微分学1一基本要求1理解二元函数的概念，会求定义域。2了解二元函数的极限和连续的概念。3理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。4掌握多元复合函数的微分法。5了解全微分形式的不变性。6掌握隐函数的求导法。一基本要求1理解二元函数的概念，会求定义域。27会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。8了解方向导数的概念和计算公式。9了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。10掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。7会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。3二要点提示（一）函数的概念1.点函数的定义：设是一个点集，如果对于每一点变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是点的函数，记为

注意

1.从一元函数推广2.多元函数与一元函数的区别二要点提示（一）函数的概念注意1.从一元函数推广4当时，当时，为n元函数.为三元函数；……当时，为二元函数；当时，为一元函数；当时，当5

2.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.2.多元初等函数：61．偏导数（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限.（二）偏导数与全微分1．偏导数（二）偏导数与全微分7（2）计算求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数.2．全微分微分公式：（2）计算2．全微分微分公式：8（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之间的关系一元函数：可导函数可微，一元函数：可导连续，多元函数：偏导数连续

函数可微多元函数连续函数的偏导数存在。（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之间的9（四）多元函数微分法1．多元复合函数求导法（1）链式法则链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行.（四）多元函数微分法（1）链式法则10

设则是的复合函数.设11称为全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.称为全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清12注意：

注意：132．隐函数求导法：设是由方程所确定的隐函数，则方法2

隐函数的求导公式：方法1对方程两端求(偏)导数，然后解出所求(偏)导数.2．隐函数求导法：设是由14（五）微分法在几何上的应用则曲线在点处切向量为是曲线上一点，其相应的参数为（1）设空间曲线：1．空间曲线的切线及法平面（五）微分法在几何上的应用则曲线在点处切向量为是曲15曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法平面方程为曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法平面16

若曲线的方程表示为则在点处切向量为若曲线的方程表示为则在点处切向量为172．曲面的切平面及法线为曲面上一点,则曲面在点处的法向量为（1）设曲面方程为（隐函数形式）2．曲面的切平面及法线为曲面上一点,则曲面在点处的18切平面方程为法线方程为切平面方程为法线方程为19（2）若曲面方程为（显函数形式）曲面上点的法向量为则可写为隐函数形式（2）若曲面方程为（显函数形式）曲面上点的法向量为则20（六）方向导数与梯度2．计算公式：若可微，则其中为轴正向到方向的转角方向导数的定义（六）方向导数与梯度2．计算公式：若21注意:方向导数存在偏导数存在

若可微,则其中为方向的方向角.注意:方向导数存在偏导数存在若223.梯度：设在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，向量

称为在点的梯度。

梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。3.梯度：称为在点23（七）函数的极值﹑最大值和最小值这时称为驻点。若在点处有极值，则驻点不一定是极值点1．极值的必要条件：（七）函数的极值﹑最大值和最小值这时称24是极小值；2．充分条件：设在驻点的某邻域内有连续的二阶偏导数，记(2)当时，不是极值；(1)当时，是极值;(3)当时，不能确定.

是极大值；是极小值；2．充分条件：设253．条件极值：求拉格朗日函数

求条件极值的方法：(1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；的极值.如函数下的极值称为条件极值.在条件(2)可以用拉格朗日乘数法：3．条件极值：求拉格朗日函数求条件极值的方法：的264．函数的最大值和最小值在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点.求函数在有界区域上的最大值和最小值的法:

1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值;2.求出在的边界上可能的最大值﹑最小值;3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.4．函数的最大值和最小值在实际问题中往往可根据问题本身的性质27三例题分析（一）求定义域和极限2.讨论极限1.三例题分析（一）求定义域和极限2.讨论极限1.28答案:(2)设沿直线趋近于(0,0)故极限不存在.2.(1)令答案:(2)设沿直线趋近于(0,029（二）求偏导数和全微分:1.求一阶偏导数及全微分.（二）求偏导数和全微分:1.301.求一阶偏导数及全微分.参考答案1.求一阶偏导数及全微分31解解32多元函数微分学-习题课ppt课件337.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程7.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程34多元函数微分学-习题课ppt课件35多元函数微分学-习题课ppt课件36解法1利用隐函数偏导数公式确定的隐函数,则故7.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解法1利用隐函数偏导数公式确定的隐函数,则故7.设F37解法2对方程两边求全微分，得用全微分形式不变性即解法2对方程两边求全微分38（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线2.作一平面与直线垂直且与球面相切.在点处的切线方程及法平面方程.1.求曲线（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线2.作一平面与直39即曲线，法平面方程：切线方程：其切向量为解方程组确定隐函数在点处的切线方程及法平面方程.1.求曲线即曲线40所求平面的法向量2.作一平面与直线垂直且与球面相切.解所求平面设为设切点为方法1所求平面的法向量2.作一平面与直线41所求平面：由（切）点到原点的距离公式，有所求平面与球面相切.所求平面：由（切）点到原点的距离公式，有所求平面与球面42则球面的法向量为:方法2所求平面的法向量2.作一平面与直线垂直且与球面相切.则球面的法向量为:方法2所求平面的法向量2.作一平面与直线43所求方程为代入曲面，得所求方程为代入曲面，得44解（四）方向导数和梯度解（四）方向导数和梯度45多元函数微分学-习题课ppt课件46梯度的模由题意：要使方向导数=梯度的模，即须有说明球心在原点的球面上点沿向径的方向导数最大.梯度的模由题意：要使方向导数=梯度的模，即须有说明球47解（五）多元函数的极值和最大、最小值解（五）多元函数的极值和最大、最小值48多元函数微分学-习题课ppt课件49解解50多元函数微分学-习题课ppt课件51多元函数微分学-习题课ppt课件521.(06,一)

综合练习1.(06,一)综合练习53解选D.构造拉格朗日函数解选D.构造拉格朗日函数542(03,一)A.不是极值点；B.极大值点；C.极小值点；D.无法判断因已知极限是1，而分母解选A.2(03,一)A.不是极值点；B.极大值553（03,三）则下列结论正确的是（）.解选A.因可微函数必有偏导存在，由极值存在的必要条件，知3（03,三）则下列结论正确的是（）.解选A.因可微564.已知函数的全微分并且在椭圆域:上的最大值和最小值.解先确定4.已知函数的全微分并且在椭圆域:上的最大值和最小值.解先确57不是极值点，也非最值点.说明最值不在椭圆区域内.不是极值点，也非最值点.说明最值不在椭圆区域58考虑边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为解方程组得可能的极值点考虑边界曲线上的情59可能的极值点函数值：内的最大值为3，最小值为－2.可见在区域可能的极值点函数值：内的最大值为3，最小值为－2.可见605.设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为5.设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所61(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,需要在D的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点,试确定涉及到：方向导数、梯度和条件极值等概念攀登起点的位置.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山上找出使(1)62解沿梯度方向的方向导数最大，为梯度的模，所以

由方向导数与梯度之间的关系，知解沿梯度方向的方向导数最大，为梯度的模，所以由方向导数与梯度63下的最大值点.由拉格朗日乘数法，令（2）令则则只须求在约束条件下的最大值点.由拉格朗日乘数法，令（2）令则则只须求在约束条64于是得到四个可能极值点：则由（3）式得则由（1）式得再由（3）式得式(1)+(2),得若若由于故或可作为攀登起点.于是得到四个可能极值点：则由（3）式得则由（1）式得再由（3655.设具有二阶偏导数,多元复合函数求偏导例题5.设具有二66参考答案：同理,解例1设求参考答案：同理,解例1设67例2设