三角函数中“1”的妙用

三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学王波750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。理论一：sin2a+cos2a=1应用举例例1．已知a是第一象限角，化简下式Jl+2sinacosa解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的1+2sinacosa是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到1=a2+b2，自然会想到1+2sinacosa=sin2a+cos2a+2sinacosa，到此时解题思路豁然开朗解：\1+2sinacosa=*sin2a+cos2a+2sinacosa=i；(sina+cosa)2=|sina+cosa|•/a是第一象限角.•・sina>0,cosa>0.・.、1+2sinacosa=sina+cosa例2：已知tana二3，求sinacosa的值解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角a的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。我们发现sinacosa的分母是1，而1=sin2a+cos2a，这样题目就迎刃而解了解：Ttana二3

TOC\o"1-5"\h\z.sinacosasinacosa11sinacosa====—1sin2a+cos2asin2a+cos2a,1tana+sinacosatana13・・sinacosa==-3+1103兀理论二：tan=1(tan450=1)4应用举例例3例3：求值1+tanl5o1-tan15o解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式tan（a+卩）=tana+tanP与题目给出的形式有区别，这时我1-tanatanp们观察到公式中的tana与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决小1+tan15otan45o+tan15o仆、口解：==tan（45o+15。）=启1-tan15o1-tan45otan15o理论三：形如asin°+bcos0的三角函数式的化简与求最值问题asin0+bcos0asin0+bcos0=>■\：a2+b2(a\：a2+b2sin0+cos0)、:a2+b2a\a2+b2)2+()2=1・・可以联想到sin・・可以联想到sin2q+cos29=1a则由此可设=cos9,a2+b2b=sin9a2+b2或设=sin9,或设=sin9,a2+b2b=cos9xa2+b2此时可得asin0+bcos0=sin(u+P)或asin0+bcos0=cos(0—Q)应用举例例4：化简J3sinx+cosx解析：化简v3sinx+cosx,就意味着将原式化成asin(x+q)或acos(x+q)的形式，由理论三我们可得解题方法解：弋3sinx+解：弋3sinx+cosx二2sinx+cosx)2c/兀••兀、=2(cossinx+sincosx)66兀=2sin(x+)6例5：求函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时的x的值解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2xcos2x+1二sin2x+cos2x+sin2x+2—2=sin2x+cos2x+2二、.：2sin(2x+)+2，4TOC\o"1-5"\h\z「e兀…兀当2x+=2k兀+一，42即x=kK+—(keZ)时，y=+28max理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径r=1，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。它