天津理工电路习题及标准答案第八章相量法

#/7第八章相量法8.1学习指导学习要点（1）正弦量及其三要素。（2）相位差的概念。（3）相量的概念及其性质。（4）KCL、KVL的相量形式。（5）R、L、C元件VAR的相量形式。内容概述1．正弦量1）正弦量的时域表达式（以i为例）:i-Icos(31+V)m2）正弦量的三要素、有效值的定义（1）角频率、频率、周期（要素之一）- d（31+W） 角频率：3- ,即正弦量单位时间内变化的电角度，dt单位：rad/s（弧度/秒）。频率：f—单位时间内正弦量变化的周波数，单位：HZ周期：T—正弦波变化一次所需要的时间，即一个完整周波在时间轴上的宽度，单位：s、ms、ps3、f、T之间的关系：3-2寸11于-T或T-f•Z（2）最大值、有效值（要素之二）式①中：I—最大值；I—有效值。m有效值的定义:若i为周期性电流函数（不一定是正弦量）,则i有效值的定义式为I-'—\Ti2dt\To上式可写成：含义是：对同一电阻R,在周期T内，i通过R时产生的热量与恒定电流I通过R时产生的热量相等。正弦量：I-221m对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i的定义式相同。（3）相位角、初相角（要素之三）相位角：31+V,单位：rad或（o）（弧度或度）。初相角：V，单位：rad或（o）（弧度或度）。注意：正弦量的一个周期对应的相位角为2兀rad或360o3）相位差相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念，设两个正弦量分别为f-fcos(f-fcos(31+V)f-fcos(31+V)11m1 22m则f与f之间的相位差定义为123-(31+V)-(31+V)=V-V12 1 2 1 2设一兀"①<K贝上12⑴当中12>0时，称f1越前（超前）f2（①12角），或f2滞后f1（①12角）。（2）当中<0时，称f滞后f加I角），或f越前f（卜I角）12 1 2i12 2 1 ^^12（3）特例：当①12@与于2同相。当①=±90o时，称f与f正交。12 1 2当①=±180o时，称f与f反相。12 1 2注意：(1)一般情况下只有两个正弦量同频时，求相位差或进行相位比较才有实际意义。(2)利用式②求相位差时，两个正弦量的表达形式要一致，同为正弦形式或余弦形式，且f>0,f>01m 2m2．相量法的基本概念线性动态电路的描述方程是微分方程,求解微分方程的正弦稳态解(特解),在高等数学微分方程求解中是通过待定系数法进行的。这种方法非常繁琐,为此,电路中引入相量概念,通过相量法使常微分方程的正弦稳态求解问题变为复数的代数方程求解问题,这不仅计算简化,书写方便,而且使正弦稳态电路物理概念更加突出。1)正弦量的相量 _设正弦量：u=、/Ucos(et+V)u将U的有效值作为幅值，，u的初相角作为辐角所构成的复数：UejNu简记为U=Uzv ②u则称U是正弦量u的有效值相量，简称相量。相量是一个特殊的复数，它与一个正弦量相对应，其代表符号为在对应正弦量有效值U上加“.”相量的正弦量设相量U=Uzv,正弦量u的角频率为3(已知)。u若将U的幅值U作为正弦量u的有效值，U的轴角V)作u的初相角而构成的正弦量：u=v2Ucos(31+V) ③u则称u是相量U对应的正弦量。可以将正弦量与相量的关系看成是一种数学变换。为了叙述方便，将这种变换称为M变换。正弦量相量是M正变一换；相量正弦一量是M反变换。u与U关系u与U的关系式为u=Re42ejstU=Re\j2Uej(31+vu)」=221Ccos(31+v) ④式中：Re—表示取实部。U=Uzv是复指数函数v2ej31.Ue以复常数部分，而u是复指数函数.2ejt.Ue叫的实部。u4)M变换(正弦量一>相量)的性质表8—1列出了M变换(正弦量—>相量)的几条常用性质，这些性质可以用式④证明。表8—1性质名称正弦量 <—► 相量假设条件微分性质df.万- 473Fdtf=/cos(31+v)F=Fzvuf=22Fcos(31+v)F=Fzv1k、k、k实吊数1 2积分性质— \f(t)d/FJ3叠加性质5 f±fF±F 1 2 1 2 比例性质f kfkF

线性性质kf±kfkf±kF3、电路定律的相量形式基尔霍夫定律(KCL、KVL)的时域形式与相量形式(频域形式)和元件R、L、C的伏安关TOC\o"1-5"\h\z系(VAR)的时域形式与相量形式如表8-2所示。表中的相量形式可用M变换(正弦量<—> 相量)的性质证明。表8-2KL和元件VAR的时域形式与相量形式定律时域形式相量形式KLKCL万i=0汇i=0KVL乙u=0ZU=0元件的VARRu=Ri或i=GuR R G GUR=RIR 或IG=GUGL一Mi-,1f_—u—L—Lj或i——JudtL dtLLLU=j3LI或I=-!—UL LLj3LLCd du11.也或i=C-c-u=—Jidt以〃CCC C dtU=-I或Ic=j3CUcC j3CCTOC\o"1-5"\h\z8.2 例题8.2.1正弦量例题8-1已知正弦电流的I=2AW=30o,f=50H7，求该正弦量的最大值、角频率；写出i Z该电流的正弦量函数式；画_出其波形图。解：最大值：Im=2弋2A 整角频率：322nA314rad/s /f?'JZVL6 . …正弦量函数式：i=2亚cos(314t+兀/6)A 吆、 i波形图如图L8-1所示。 图L8-1例题8-2求下面各组正弦量的相位差，并说明越前、滞后的关系。(1)u=22022cos(31—1200)Vu=220acos(31+1200)V1 2(2)i=10cos(31-1300)Au=200sin(31)V(3)i=30sin(31-200)Ai=40sin(331-500)A12解：(1)①=-120o—120o=—240o12将隼转化为：0〜±180o范围，则有：12隼二360o—240o=120012所以u越前u120o,或者说u滞后u120o。12 21(2)计算相位差前，应先将两正弦量统一成余弦或正弦形式；u=200sin(31)=200cos(31-900)①=V,一V=—130o—（一90o）=一40oI.U u所以i滞后u40o。i与4的频率不同，相位差是一个时量求其相位(3)由于i的角频率为3=3,而i的角频率为3=3i与4的频率不同，相位差是一个时量求其相位2间函数，不能判定越前、滞后。8.2.2相量例题8-3求下列正弦量的相量；画出相量图；根据相差，并说明越前、滞后的关系。i=14.14cos(3t+300)A；u=上220sin(31+300)V1

解：(1)u=220Osi((①t+300-900)V1 _二220Coos(31—60。)Vi1的相量式 I1=(14.14/1.414)Z30oA=10Z300AU1的相量式 U=00Z-60oVI］、U的相量图如图L8-3所示。i与u的相位差为11图L8-39=30o-(-60o)=90图L8-3试求：所以i越前u90o,或者说u滞后i90o。1 1 11试求：例题8-4在图L8-4所示电路中，已知u=000sin(31+100)V,u=300sin(31+9)Vs1 s1(1)9=-300时的u；(2)在9可调时，AB两端电压为最大值和最小值时的9值及相应的电压幅值u。ABm解：(1)u=u+uABs1s0用相量计算U =000/100V,U =300Z-300Vs1m s0mU. =U. +U.ABms1ms0m=200Z-10o+300Z-30o=197+j17.4+259.8-j150=456.8-j132.6=475.8Z-16.2o(V)uAB=475.8sin(3t-16.00)V(2)当u与u同相位时，即9=100时，s1s0u=U+U =(000+300)V=500VABmS1m S0m当u与u反相位时，即10o-9=1800,9=-1700时，AB间电压最小，其幅值为s1s0u=U-U =(300-300)V=100VABm S0mS1m，i3.电路定律的相量形式，i例题8-5在图L8-5所示的RL串联电路中，已知：f=50H。求总电压：u=u+u。Z RL解：由KVL得u=u+u=Ri+LdRL dt利用相量概念及性质：I.=0Z—30oVU.=RI.+j3LI.=(R+j3L)I.=(100+j314x0.5)Qx2Z—300A=186.14Z57.5ox2Z—300V=372,3Z27.5oV所以u=、Q372.3cos(314t+07.50)V例题8-6在图L8-6(a)所示电感元件的正弦交流电路中，L=200Mh,f=50HZ：(1)已知i=7^0sin31,求电压u；(2) 已知U=054Z—30oV,求电流I,并画出相量图解：(1)当f=50HZ时XL=2nfL=2x3.14x50x0.2Q=62.8Q

U=jXLI=j62.8Qx7A=439.6Z900V所以u=439,6.12sin(①t+900)VI=旦jXL254N—300V

j62.8Q=4.04N—1200A相量图如图L8-6(b)所示。图L8-6例题8-7 已知图I=旦jXL254N—300V

j62.8Q=4.04N—1200A相量图如图L8-6(b)所示。图L8-6例题8-7 已知图L8-7(a)电路中，各并联支路中电流表的分别为第一只5A,第二只20A,第三只25A：(1)求图示电路中电流表A的读数(2)画出电压电流相量图解：设R的电压U=UN00V,贝U.UU广丽y菽=-j20AIC=jsCU=j3CU=j25AI=I+1+1=5—j20+j25ARLC=5+j5A=5%2Z450A-7.07Z450A所以电流表A的读数为7.07A(2)相量图如图L8-7(b)。也可先画出相量图，由相量图可知：I=II2+(I2—I2)=522+52AX7.07AR LC典型习题图L8-78-1、图示电路中，已知电流表人1读数为10A,电压表丫)读数为100V,试用相量图求电流表A2和电压表V2读数。(答案：电流表A2读数为10A,电压表V2读数为100、2V)8-2、图示电路中，试确定方框内最简单串联组合和并联组合元件值。已知u(t)=10cos2tV,i(t)=2cos(2t—600)A。[答案：y=(1.39—j0.92)S，G=1.39S,L=0.543H]8-3、如图所示，已知U=380V,f=50Hz，取C使开关K闭合与断开时电流表读数均为0.5A,求L。(答案：L=1.2H)，I2，I2=5A，则I=？(答案：I=1A)u=50五cos(31+300)V，1 u-30i2cos(31)V，一u-40至sin(31—600)V用相量法求u-u-u+u1「 2 3［答案：u=21.9222cos(31+166.810)V］8-6、RLC串联电路如图所示，u为正弦电压，设电路已处于稳态，求各元件电压有效值之间的关系式。(答案：U(答案：U-.UJ2+(U—U)2RLC8-7、图示电路中，Ri=6Q,L=0.3