江苏省南京市航空航天大学附属中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江苏省南京市航空航天大学附属中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线分别与函数的图象及的图象相交于点和点，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：因,故,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取最小值,应选D.考点：函数的图象和性质与导数在求最值中的运用.2.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C略3.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A．甲、丙、乙

B．乙、甲、丙C．乙、丙、甲

D．丙、乙、甲

参考答案：C4.已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（

）参考答案：A5.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（A）或-1

（B）2或（C）2或1

（D）2或-1参考答案：D6.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A7.已知（），则的最小值为A．

B．9

C．

D．10参考答案：B提示：，两边同时乘以“”得：所以，当且仅当时等号成立.令，所以，解得或因为，所以，即8.已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

(

)参考答案：D略9.已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.设集合，，则A∩B=（

）A．(－4,+∞)

B．[－4,+∞)

C．[－2,－1]

D．[－4,－2]参考答案：D故选D。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，正实数m，n满足，且，则

参考答案：112.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是

．参考答案：1613.在公比为2的等比数列{an}中，，则a1=．参考答案：2略14.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为．参考答案：【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立对应，显然：P（A）==，P（B）==，P（AB）=．P（B|A）===．故答案为：【点评】本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．15.给定个长度为且互相垂直的平面向量和,点在以为圆心的圆弧上运动，若+，其中，则的最大值为参考答案：216.已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．参考答案：．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．17.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为

.参考答案：－1由于，所以，即，，所以向量在向量方向上的投影为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.参考答案：设第n天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，依题设构建方程有，化简，或（舍），第12天的新的患者人数为20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人19.已知抛物线在第一象限内的点到焦点F的距离为．（1）若，过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；（2）若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆相交于D，E两点，O为坐标原点，，试问：是否存在实数a，使得|DE|的长为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：19．（1）∵点，∴，解得，故抛物线的方程为：，当时，，∴的方程为，联立可得，，又∵，，∴．

...............................5分（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，设

，则，，①由得：，整理得，②将①代入②解得，∴直线，∵圆心到直线的距离，∴，显然当时，，的长为定值．

...............................12分20.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面体P﹣AEF的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）通过证明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；（II）连接PE，证明BC⊥平面PAE，于是VP﹣AEF=VF﹣PAE=VC﹣PAE．【解答】证明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又BC∥AD，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AE⊥PD．（II）连接PE，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∵四边形ABCD是菱形，AB=PA=2，∠ABC=60°，∴AE=，∴VC﹣PAE=S△PAE?CE==．∵F是PC的中点，∴VP﹣AEF=VF﹣PAE=VC﹣PAE=．21.已知为等比数列,其中a1=1,且a2,a3+a5,a4成等差数列．(1)求数列的通项公式：(2)设,求数列{}的前n项和Tn．参考答案：(1)；(Ⅱ).试题分析：(1)设在等比数列中，公比为,根据因为成等差数列.建立的方程.(Ⅱ)由（I）可得.