初升高数学衔接通用资料

初升高数学衔接第11页共52页初升高数学衔接班学法指导一、学习目标：1、认识初高中数学学习的特点和差异2、了解高中数学的考法3、了解高中数学的学习策略和学习方法二、学习重点：1、初高中数学知识差异与学法差异2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。三、重点讲解：高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。（一）高中数学教材分析高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。进入高中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。《必修1》模块由两章构成，分别是：第一章：集合第二章：函数如何理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。（二）高中数学与初中数学特点的变化1、数学语言在抽象程度上的突变。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高中数学一开始即在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。例如：初中是这样定义函数的：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟一的值y与它对应，那么就说自变量x是y的函数。那么，y=1是函数吗？我们需要进一步深化函数的概念。在高中是用集合的语言来定义函数的：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A．可以得到y=1是函数的结论。集合作为数学的基本语言可以简洁地表示数学对象，对刚步入高中的同学来说，也是抽象的。而后续的几何部分也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说，思维要从初中的直观、经验型向抽象、理论型过渡。2、思维方法向理性层次跃迁。高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，同学们在初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上发生了很大的变化，同学们一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。3、知识内容剧增初中数学知识少、浅、难度低、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识进行推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0～180°”范围内的，但实际当中也有720°和“－360°等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小的角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法？（答：6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：3种），高中将学习统计这些排列方式的数学方法。初中的学习中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了于是令－1的平方根为±i，这样即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在今后的学习中将逐渐接触到。4、综合性增强，学科间知识相互渗透，相互为用，加深了学习的难度。比如这样一个实际问题：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，如果天平制造得不够精确，天平的两臂长短略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过我们可以做第二次测量：把物体调换到另外一个盘子上，此时称得的物体的质量为b，如何合理地表示物体的质量呢？要解决这个问题我们需要用到物理中力学的知识，且我们还可以从中得出一个重要的数学不等式。5、系统性增强。由于高中教材的理论性增强，常以某些基础理论为纲，根据一定的逻辑，把基本的概念、基本原理、基本方法联结在一起，构成一个完整的知识体系。前后知识的关联是其中一个表现。另外，知识结构的形成是另一个表现，因此高中教材知识的结构化明显升级。如函数，初中只简单地介绍一次、二次、反比例、正比例函数，对函数的性质很少研究，而高中的函数是一个大的知识体系。函数的定义域、值域、解析式、性质等是一个小系统；指数函数、对数函数、三角函数、二次函数也是一个小系统；函数图象也是一个小系统等等。这些小知识体系相互渗透、联系构成函数大体系。再比如小学里就有根据规律填数，如2，4，6，（），10，而数列的理论体系到高中才建立起来。6、能力要求更高高中课程目标明确地提出要提高学生的五种基本能力，即空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理能力。平时要注重对这些能力的培养。比如空间想象能力是对空间形式进行观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。同学们在初中学习过三视图，可以画出简单空间图形的三视图，到高中，我们会具体给出三视图的定义，而且会考查由三视图如何还原出实际物体。例1：下面是一个组合图形的三视图，请描述物体形状如果给出相应的数据，同学们是否能够求出它的体积呢？这道题考查的就是同学们的空间想象能力。例2：三角数阵中的归纳推理根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是。这道题考查的就是同学们的归纳推理能力。当然，对于一个实际问题，同学们是否能够建立恰当的数学模型来处理问题，这又对大家的能力提出了更高的要求。（三）高中数学考试的特点高考中主要考查什么呢？考纲要求：数学学科的考试，按“考查知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素养融为一体，全面考查学生的数学素养。拿江苏高考卷来说，文科数学满分为160分，理科数学满分为200分，其中数学选修部分占40分。初中数学的考试方法，基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。考试题多半是生疏的题目，是不能依赖模仿加以解决的问题。同学们在做题中最感困难的是没有思路。分析不出所要解答的题目的问题结构。仿佛感到什么方法都学过，就是分不清什么时候该用哪一个。看来，初高中数学考试的主要区别是高中考的是同学们解决问题的能力。（四）学好高中数学的应对策略和学习方法我们了解了高中数学的特点以及考试的特点之后，现在就根据其特点寻找相应的学法。1、充分发挥“老师”的作用。有一些同学在初中学习不规范，凭借聪明的头脑，在初三的中考突击中也能取得较理想的成绩。这部分同学上高中后，学习上仍比较放松，以为采取同样的方法仍可以考上理想的大学。但是，现实告诉我们，这种投机取巧的方式到高中是根本行不通的。中考的题目不太具有明显的选拔性，中考只是局部的学生竞争，同学们考上高中都相对容易，但高考则不同，目前我们国家还不可能普及高等教育，高等教育可说还属于一种精英教育，只能选拔一些成绩好的同学去读大学，因此高考的题目往往具有很强的选拔性，竞争非常激烈。从课程本质上说，高中内容体系性虽强，但是在编写时是通过“模块”的形式把这些比较系统的内容分散开来编写的，如果没有老师的引领，同学们在学习时会觉得内容繁杂、无序，不容易形成知识结构和“思维链”，无法形成对知识“一览众山小”的把握，并不利于对知识的学习。而且，前面也说了，高中数学蕴含着很多的数学思想与数学解题方法，这些抽象的思想与灵活方法的运用，同学们仅凭读课本是无法感知的，而老师上课时一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重、难点，突出思想方法，只有在老师的带领下同学们才能更好地认识高中数学，认清结构，发现其中的奥秘，利用好老师的角色将对我们的学习起到事半功倍的效果。2、抓住数学的灵魂———数学思想。所谓数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思想是数学学习的关键，数学思想指导着数学问题的解决，并具体体现在解决问题的不同方法中。常用的数学思想有：方程思想、函数思想、转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等。无论是初中数学还是高中数学，数学思想都是数学的灵魂，它们之间是可以衔接的。例1：某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型机20台，乙型机30台。现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议．解：（1）若派往A地区的乙型联合收割机为x台，则派往A地区的甲型联合收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台。∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000。x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）。（2）由题意得200x＋74000≥79600，解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，故有3种不同的分配方案。①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台。③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，y取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使该农机租赁公司获得的租金最高。这里面透露出的就是函数的思想，而在高中，函数的思想是非常重要的数学思想。例2：实数k为何值时，方程kx2+2|x|+k=0有实数解？运用函数的思想就可以解决这个问题。3、夯实基础知识和基本技能，掌握适度的知识外延。要学习好高中数学，必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质，抓住这些基本知识的要点和适用范围，是学好数学的基础之一，否则一切都无从谈起，从目前的高考来看，也很侧重对这些知识的考查，特别是一些简答题，如对某些基本概念不能准确理解就很难正确作答。夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这些还不够，要想在有限的时间内准确快速地解答完考题，必须具备一定的知识外延，需要在平时的听课和练习中注意加强对一些重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的知识积累。4、做题之后加强反思同学们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。在考试中我们需要运用平时做题目时的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。5、主动复习，总结提高进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也不会明确指出做总结的时间。那么，怎样进行章节复习呢？（1）把本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是典型问题。要把对技能的要求，列进这两部分的其中一部分中，不要遗漏。（2）把各种重要的，典型的问题记录在册。6、养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平日的学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如：空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练、应用中得到发展。（五）给“高一”新同学的建议1、改掉“依赖”的习惯许多同学进入高中后，还像在初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不订计划，坐等上课，对老师课上要讲的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，不会巩固所学的知识。——主动性不好是同学中普遍存在的问题。高中仅做听话的孩子是不够的，只知做作业也是绝对不够的；高中老师讲的话也不少，但是谁该干些什么，老师并不一一具体指明。因此，高中新生必须提高学习的自主性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。2、运算一定要过关学习数学离不开运算，初中老师往往一步一步在黑板上演算。到了高中，因时间有限，运算量大，老师常把计算过程留给同学们，这就要求同学们多动脑，勤动手，不仅要能笔算，而且还要能口算，心算和估算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理，注重简便方法。许多学生由于运算能力低，致使数学成绩难以提高，但他们总归咎于“粗心”，思想上仍不重视。我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。3、题目贵“精”，不贵“多”有的同学认为，要想学好数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化。为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡到高中数学的学习，老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数学知识进行深化和补充，并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。【同步练习】（答题时间：45分钟）1.关于x的方程x2+kx+k2－9=0只有一个正根，那么k的值是（）A.k＞3或＜－3B.k=±3C.k≥3或k≤－3D.－3≤k＜37.今有A、B、C、D四人在晚上都要从桥的左边到右边去。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒的。四人过桥最快所需时间如下：A2分钟；B3分钟；C8分钟；D10分钟。走得快的人要等走得慢的人，请问如何的走法才能在21分钟内让所有的人都过桥?8.125×4×3=2000这个式子显然不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？9.牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？”*10.春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏＝春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？*11.著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？牧场上原有的草量是162－15×6=72，或207－15×9=72。前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21－5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。10.解：春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏=春夏秋冬∵秋夏<100，春冬×100=春冬00>春夏秋冬∴冬＞夏且积千位≤春∴春＞夏当夏≠1时，根据九九表和冬＞夏知：冬=5，夏=3若春≥6，由春3×秋5＝3秋春5＜4000可知秋＜7。春5×秋3＜春000无解若春＜6春≠5且春＞夏＝3所以春＝445×秋3＝43秋5无解所以夏＝1因为春冬×秋1＝春1秋冬，所以秋>5春1×秋冬=1秋春冬，∴春≤3，当春=3时，秋=6，3冬×61=316冬无解。因为春>夏，且<3，所以春=22冬×秋1=21秋冬，21×秋冬=1秋2冬；秋=9时无解，秋=8时，冬=711.解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。很快可以得到答案为119阶。第一讲数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】证明： 等式成立【例1】计算：解：原式= 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】(立方和公式) 证明: 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： 解：原式= 我们得到： 【公式3】(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1） （2）（3） （4）解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知，求的值．解：原式= 说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知，求的值．解： 原式= ① ②，把②代入①得原式=说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：二、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4)【例6】化简下列各式：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式=说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) (2) (3)解：(1)原式= (2)原式= (3)原式=说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如可化为)，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中与叫做互为有理化因式)．【例8】计算：(1) (2)解：(1)原式= (2)原式= 说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设，求的值．解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例10】化简解法一：原式=解法一：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简解：原式= 说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．练习练习A组1．二次根式成立的条件是( ) A． B． C． D．是任意实数2．若，则的值是( ) A．－３ B．３ C．－９ D．９3．计算： (1) (2) (3) (4)4．化简(下列的取值范围均使根式有意义)： (1) (2) (3) (4)5．化简： (1) (2)B组1．若，则的值为( )： A． B． C． D．2．计算： (1) (2)3．设，求代数式的值．4．当，求的值．5．设、为实数，且，求的值．6．已知，求代数式的值．7．设，求的值．8．展开9．计算10．计算11．化简或计算： (1) (2) (3) (4)第一讲习题答案A组1．C2．A3．(1) (2) (3) (4)4．5．B组1．D2．3．4． 5． 6．3 7．8．9．10．11．第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2)分析：(1)中，，(2)中．解：(1) (2) 说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) (2) 分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．解：(1)． (2) 二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把分解因式． 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．解：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例4】把分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解： 说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式 【例5】把分解因式． 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.解： 【例6】把分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解： 说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法 1．型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) ． (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1)把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数． (2)由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：(1) (2) 2．一般二次三项式型的因式分解大家知道，．反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解： (1) (2)解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例11】分解因式解： 说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法 【例12】分解因式 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将拆成，将多项式分成两组和．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．练习练习A组1．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)2．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4)3．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4)(5)(6) (7) (8)B组1．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．已知，求代数式的值．3．证明：当为大于2的整数时，能被120整除．4．已知，求证：．第二讲因式分解答案A组1． 2． 3． 4．5．．B组1．．2．3．4．第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3)当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) (2) (3)解：(1)，∴原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程可化为： ，∴原方程有两个相等的实数根． (3)原方程可化为： ，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4)方程无实数根．解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例3】已知实数、满足，试求、的值．解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．【例5】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根满足．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当时，方程两实根的积为5． (2)由得知： ①当时，，所以方程有两相等实数根，故； ②当时，，由于 ，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．【例6】已知是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2)求使的值为整数的实数的整数值．解：(1)假设存在实数，使成立． ∵一元二次方程的两个实数根 ∴， 又是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在实数，使成立． (2)∵ ∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值为整数的实数的整数值为．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2)本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法． A组1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D．2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D．4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定5．若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D．6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值．14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． (1)取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)当矩形的对角线长是时，求的值．B组1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值．第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案A组1．B 2．A 3．A 4．A 5．A6．7．3 8．9或 9．10． 11．正确 12．413．14．B组1． (2)不存在2． (1)当时，方程为，有实根；(2)当时，也有实根．3．(1) ； (2)．第四讲不等式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一、一元二次不等式及其解法1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．【例1】解不等式．分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2)分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．解：(1)原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2)原不等式可化为：，即 于是： 所以原不等式的解是．2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．以二次函数为例：(1)作出图象；(2)根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．(3)当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是．当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象．①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断)．那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断)．那么(图2)： 无解③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式来判断)．那么(图3)：取一切实数 无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；(3)否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．【例3】解下列不等式： (1) (2) (3)解：(1)不等式可化为 ∴不等式的解是(2)不等式可化为 ∴不等式的解是(3)不等式可化为．【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．解：显然不合题意，于是： 【例5】已知关于的不等式的解为，求的值．分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．解：由题意得：说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，，且注意，从而．二、简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式： (1) (2)分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．解：(1)解法(一) 原不等式可化为： 解法(二) 原不等式可化为：． (2)∵ 原不等式可化为：【例7】解不等式解：原不等式可化为： 说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为的形式．(1)当时，不等式的解为：；(2)当时，不等式的解为：；(3)当时，不等式化为：； ①若，则不等式的解是全体实数；②若，则不等式无解．【例8】求关于的不等式的解．解：原不等式可化为： (1)当时，，不等式的解为； (2)当时，． ①时，不等式的解为； ②时，不等式的解为； ③时，不等式的解为全体实数． (3)当时，不等式无解．综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值．分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令．解：原不等式可化为：． 所以依题意：．练习练习A组1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4)2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4)3．解下列不等式： (1) (2)4．已知不等式的解是，求的值．5．解关于的不等式．6．已知关于的不等式的解是，求的值．7．已知不等式的解是，求不等式的解．B组1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．2．若不等式的解是，求的值．3．解关于的不等式．4．取何值时，代数式的值不小于0？5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．第四讲不等式答案A组1．2．3．(1)无解(2)全体实数4．．5．(1)当时，；(2)当时，；(3)当时，取全体实数．6．7．B组1．2．3．(1)时，；(2)时，无解；(3)时，．4．．5．．第五讲二次函数的最值问题二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当时，求函数的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．【例2】当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当时，求函数的取值范围．解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；(2)当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；(3)当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，．综上所述：在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为元， 那么件的销售利润为，又． (2)由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下 当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A组1．抛物线，当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象过原点．2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值： (1)； (2)．4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．5．对于函数，当时，求的取值范围．6．求函数的最大值和最小值．7．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？B组1．已知关于的函数在上． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)当为实数时，求函数的最大值．2．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．4．已知函数在上的最大值为4，求的值．5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．第五讲二次函数的最值问题答案A组1．414或2，2．3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值，无最小值．4．当时，；当时，．5．6．当时，；当或1时，．7．当时，．B组1．(1)当时，；当时，．(2)当时，；当时，．2．．3．．4．或．5．当时，，此时；当时，，此时．第六讲简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去．解：由(1)得：(3) 将(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程组的解是：．说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值；⑤写出答案． (2)消，还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程，可以消去，变形 得，再代入消元． (3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点 切记． 【例2】解方程组分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：．∴原方程组的解是：．说明：(1)对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如． (2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组分析：注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．解：由(1)得： ∴或 ∴原方程组可化为两个方程组： 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】解方程组分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)–(2)得： 即 ∴ ∴原方程组可化为两个二元一次方程组：． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． 说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组． 【例5】解方程组分析：(1)+(2)得：，(1)-(2)得：，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1)+(2)得：， (1)-(2)得：． 解此四个方程组，得原方程组的解是： ． 说明：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组 【例6】解方程组分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1)得： 代入(1)得：． 分别代入(3)得：． ∴原方程组的解是：． 说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解． 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．练习练