lagrange方程中的系数矩阵

lagrange方程中的系数矩阵

1lagrange方程的求解等式束缚变换问题的两种一般方法：拉格兰乘数法和惩罚函数法。罚函数法的主要困难在于罚参数的选取，参数过大会导致方程组的病态和收敛上的困难，参数过小会导致解的失真。但是因为罚函数法导致的方程组是正定的，便于求解，所以目前所流行的一些有限元或DDA程序等大都还是采用罚函数法。Lagrange乘子法能精确满足约束方程，但它所导致的方程组(本文称之为Lagrange方程组)的系数矩阵(本文称之为Lagrange矩阵)是一对称不定矩阵，求解起来会存在一些困难。A.F.Saleeb等目前关于Lagrange方程组的算法中，无论是迭代法，如Uzawa法Lagrange矩阵含带状稀疏的刚度阵和约束矩阵，因而具有所谓的“对角带双边”(doublyborderedbanddiagonal)这样一个特殊的稀疏结构本文所建议的Lagrange方程组的直接解法，既适应于满秩的刚度矩阵，又适用于亏秩的刚度矩阵。同时本文还讨论了Lagrange方程组的解存在唯一的充要条件以及在无单元Galerkin法中的应用。2废墟中的材料2.1根据顺序ldl众所周知，当方程组为对称正定时，基于LDL设矩阵K为n阶对称正定矩阵，则有如下形式的分解：式中：D=diag(l式中：2.2–m矩阵uv假定已知n阶方阵A的逆A更进一步，如果用一秩–m矩阵UV因为容量矩阵I一般认为式(3)最早是由Sherman和Morrison所建议的，而后Woodburg将其推广为式(4)3lagrange矩阵如果将Lagrange乘子法用于求解等式约束的变分问题，则可得到如下形式的Lagrange方程组：式中：K为n阶刚度矩阵，是对称并至少是半正定的；u为n阶节点位移向量；f因为一般情况下m<<n且K是带状稀疏的，因此式(5)中的Lagrange矩阵A具有所谓的“对角带双边”(doublyborderedbanddiagonal)这样一个特殊的稀疏结构本文始终假定C为满秩。可以证明Lagrange矩阵A非奇异的充分必要条件为N(K)∩IN(C证明：来考察齐次形式的Lagrange方程组：将u由于式(6)的第2个方程会使得式(7a)的第2项消失，所以有利用半正定矩阵的平方根分解因为m<<n，通过解齐次方程组C4基于刚性矩阵分解的解算方法本文将根据K满秩和K亏秩这两种情况来讨论式(5)的求解。4.1．求解式的确定假定K=LDL其中，式中：L分解式(8)，通过依次求解如下3个方程组来得到式(5)的解：从计算角度可将M写成：求解式(9a)和(9c)时，需要计算L所以一旦求得了L值得注意的是，若矩阵C非列满秩，由式(10)可知M必然奇异，从而也必将导致M的LDL4.2e为m+3阶的矩阵这是Lagrange乘子法应用中一种更常见的情况。以EFGM为例，K的亏秩数通常为3，对应于N(K)中的3个刚体位移向量。为了克服EFGM中的刚体位移问题，庞作会等式中：K′为K的划掉了最后3列和3行所对应的主子阵；C′为块K′和C组成，而K′是由K的最后3列并去掉其最后3行后组成的矩阵；E为(m+3)阶的矩阵，其中除了K′的余子阵(三阶)外，其他元素都为0。然而，如果研究一个多体接触问题，其刚度矩阵K可能具有如图1所示的存储结构如果仍然采用LDL假定在分解完K其中，式中：e其中，利用Sherman-Morrison公式并将-b将式(17)右乘以向量b可更简捷地表示成其中，这里及以后x由(18a)可知，为了求得x在随后对K其中，亦即再次利用Sherman-Morrison公式，有将式(22)代入式(19)，可得再次记x其中，依此类推，假定在分解完K其中，今后，将统一地称b仍然记x其中，注意式(26a)中所涉及的运算属于LINPACK定义的“saxpy”型运算现在假定在随后对K利用前述K满秩情况下的Laplace方程组的算法，通过连续求解方程组：来得到向量x一旦求得x现在来考虑式(13)有多个给定向量b剩下的问题就是g由于本文坚持了对小主元的扰动策略，因此上述分解过程的数值稳定性是得到保障的。5防止约束的形成基于上述分析，可设计出以下算法：(1)按照式(2)来分解K。注意每分解完一行，如第k(2)由式(10)来形成M，由式(2)来分解M。如果M的分解失败，表明约束是线性相关的，此时应终止程序的运行，否则继续向下进行。(3)依次以p+1个向量b(4)按照迭代格式(26)和图2依次将第j个向量层x6在admm中的应用可以毫不夸张地说，无网格法是过去的10a间最为活跃的研究领域之一，迄今为止，已经产生了约20种方法，几本新近出版的专著在众多的无网格法中，利用移动最小插值的无单元Galerkin法(EFGM)既然本文所建议的方法能够克服在求解Lagrange方程组时所导致的困难，作者建议Lagrange乘子法应作为求解带等式约束的变分问题的首选方法。若采用Lagrange乘子法来引入本质边界条件，则EFGM最终都将导致形如式(5)的Lagrange方程组，详细推导过程可见相关研究图3显示了一个在其右端受均布面力p=1Pa的悬臂梁。其长、宽、高分别为8,1,1m。弹性模量E=100kPa，泊松比ν=0.25。将用EFGM和FEM来分析本算例。网格含10×4个完全相同的矩形单元，它既作为EFGM的背景网格又作为FEM的网格，节点也同时为EFGM和FEM所共享。在进行单元积分时，EFGM的积分阶为4×4,FEM的积分阶为2×2。EFGM的插值基取为线性基。在进行有限元分析时，采用了两种单元类型：等参元和Wilson元。因为所有的单元都为矩形，Wilson元自然满足分片检验图4所示为对应于解析解、EFGM、等参元和Wilson元的挠度。其中Wilson元的结果几乎与精确解一致，所以此图看起来似乎仅显示了3种结果。由图4可知，在相同的节点数下的EFGM的精度要远高于等参元，但比Wilson元的结果还是略差一些。顺便指出，已用本文所建议的算法求解了许多算例，并且与MATLAB中的处理稀疏矩阵的全主元消元法的有关函数做了对比