四种命题及其关系

四种命题及其关系本节课主要讲解了命题的概念及其结构，命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。需要注意的是，不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的陈述句才是命题。命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。本节课还介绍了四种命题及其关系，包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题。其中，逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。本课程介绍了命题的概念和结构，以及四种命题及其关系。命题是能够判断真假的陈述句，其中真命题为真实陈述，假命题为虚假陈述。需要注意的是，只有能够判断真假的陈述句才是命题，而命题通常可以改写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论。四种命题包括原命题、逆命题、否命题和逆否命题，其中逆命题和否命题是互为逆命题的，逆否命题和原命题是互为逆否命题的。需要注意的是，四种命题之间的真假关系并不总是有必然联系，只有互为逆否命题的两个命题同真同假。因此，在判断命题真假时需要仔细分析其结构和关系。判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。(1)末位是5的整数能被5整除。(2)平行四边形的对角线相等且互相平分。(3)两直线平行，则斜率相等。(4)在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。(5)余弦函数是周期函数吗？举一反三：【变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。(1)x>1；(2)当x=1时，x>1；(3)你是男生吗？(4)求证：π是无理数。【变式2】下列语句中是命题的是（）A.|x+a|B.{0}∈NC.元素与集合D.真子集【变式3】判断下列语句是否是命题。(1)这是一棵大树。(2)sin30°=1/2。(3)x+1>0；(4)梯形是平行四边形。(1)若一个整数的末位是5，则它能被5整除。真命题。(2)若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是菱形。真命题。(3)若两条直线平行，则它们的斜率相等。真命题。(4)在三角形ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB。真命题。(5)余弦函数是周期函数吗？不是命题。举一反三：【变式1】(1)若x>1，则命题为真。(2)当x=1时，命题为假。(3)不是命题。(4)命题为真。【变式2】A.不是命题。B.命题为假。C.不是命题。D.不是命题。【变式3】(1)不是命题。(2)命题为真。(3)不是命题。(4)命题为假。例2.指出下面命题的条件和结论。(1)对顶角相等。(2)四边相等的四边形是菱形。(1)若两个角相等，则它们是对顶角。条件：两个角相等，结论：它们是对顶角。(2)若一个四边形的四条边相等，则它是菱形。条件：四边相等，结论：它是菱形。举一反三：【变式】(1)若一个空间四边形为正四面体，则它的顶点在底面上的射影为底面的中心。条件：空间四边形为正四面体，结论：它的顶点在底面上的射影为底面的中心。(2)若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行。条件：直线a和b都和直线c平行，结论：直线a和直线b平行。例3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假。(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。(2)对角线相等的平面四边形是矩形。(1)若两个平面垂直于同一条直线，则它们互相平行。假命题。(2)若一个平面四边形的对角线相等，则它是矩形。真命题。举一反三：【变式1】命题为“6是12和24的公约数”，改写为“若p，则q”的形式：若一个数是12和24的公约数，则它是6的公约数。真命题。【变式2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假。(1)偶数能被2整除。(2)奇函数的图象关于原点对称。(3)同弧所对的圆周角不相等。(1)若一个数是偶数，则它能被2整除。真命题。(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称。真命题。(3)若一对圆周角相等，则它们所对的弧相等。假命题。例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假。(1)若ab=0，则a+b=0。(2)若x=1，则x-3x+2=0。(3)若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等。(1)逆命题：若a+b=0，则ab=0。真命题。否命题：若ab≠0，则a+b≠0。真命题。逆否命题：若a+b≠0，则ab≠0。假命题。(2)逆命题：若x-3x+2=0，则x=1。假命题。否命题：若x-3x+2≠0，则x≠1。真命题。逆否命题：若x≠1，则x-3x+2≠0。真命题。(3)逆命题：若这个三角形有两个角相等，则它有两条边相等。真命题。否命题：若这个三角形没有两条边相等，则它没有两个角相等。假命题。逆否命题：若这个三角形没有两个角相等，则它没有两条边相等。真命题。举一反三：【变式1】命题为“若2an+an+1<an，n∈N+，则{an}为递减数列”，改写为“若p，则q”的形式：若一个数列{an}满足2an+an+1<an，则它是递减数列。真命题。【变式2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。(1)对顶角不相等。(2)空集A不是非空集合B的真子集。(1)逆命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角。条件：两个角不相等，结论：它们不是对顶角。真命题。否命题：若两个角相等，则它们是对顶角。假命题。逆否命题：若两个角是对顶角，则它们相等。真命题。(2)逆命题：若空集A是非空集合B的真子集，则B包含A。假命题。否命题：若空集A不是非空集合B的真子集，则A包含B或A和B没有交集。真命题。逆否命题：若B不包含A，则A不是非空集合B的真子集。真命题。5.设命题：若$m>0$，则关于$x$的方程$x+x-m=0$有实数根。试写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断其真假。逆命题：若关于$x$的方程$x+x-m=0$有实数根，则$m>0$。真命题。否命题：若$m>0$，则关于$x$的方程$x+x-m=0$无实数根。假命题。逆否命题：若关于$x$的方程$x+x-m=0$无实数根，则$m\leq0$。真命题。【变式1】试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断其真假。（1）当集合$A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$时，若$x\inA$，则$x\inB$。逆命题：若$x\inB$，则$x\inA$。真命题。否命题：当集合$A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$时，若$x\inA$，则$x\notinB$。假命题。逆否命题：当集合$A=\{1,2,3,5,6\}$，$B=\{1,2,5\}$时，若$x\notinB$，则$x\notinA$。真命题。（2）若$x>3$，则$x>2$。逆命题：若$x>2$，则$x>3$。假命题。否命题：若$x>3$，则$x\leq2$。假命题。逆否命题：若$x\leq2$，则$x\leq3$。真命题。【变式2】已知命题：“如果$|a|\leq1$，那么关于$x$的不等式$(a-4)x+(a+2)x-1\geq0$的解集是空集”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。逆命题：如果关于$x$的不等式$(a-4)x+(a+2)x-1\geq0$的解集不是空集，则$|a|>1$。假命题。否命题：如果$|a|\leq1$，那么关于$x$的不等式$(a-4)x+(a+2)x-1<0$的解集不是空集。真命题。逆否命题：如果关于$x$的不等式$(a-4)x+(a+2)x-1<0$的解集不是空集，则$|a|>1$。真命题。一、选择题1.下列语句中命题的个数为（2）。2.若$A$、$B$是两个集合，则下列命题中真命题是（A）。3.有下列命题：①若$xy=0$，则$|x|+|y|=0$；②若$a>b$，则$a+c>b+c$；③矩形的对角线互相垂直。其中真命题共有（1）个。4.下列语句中，不能成为命题的是（②）。5.设$m\inR$，命题“若$m>0$，则方程$x+x-m=0$有实根”的逆否命题是（D）。6.命题“若$a=5$，则$a^2=25$”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是（C）。二、填空题7.命题“一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根”，条件：$b^2-4ac>0$，结论：（存在实数$x_1,x_2$使得$ax_1^2+bx_1+c=0$且$ax_2^2+bx_2+c=0$且$x_1\neqx_2$）。是真命题。8.给出下列命题：①若$ac=bc$，则$a=b$；②方程$x^2-x+1=0$有两个实根；③对于实数$x$，若$x-2\leq0$，则$x\leq2$；④若$p>0$，则$p^2>p$；⑤正方形不是菱形。其中假命题为：②方程$x^2-x+1=0$有两个实根。1.命题和命题的形式命题是陈述性语句，有真假之分。命题的形式包括条件语句、否定语句、合取语句、析取语句、等价语句等。2.命题的逆命题、否命题和逆否命题命题的逆命题是将条件语句的前件和后件交换位置得到的新命题。否命题是将命题取反得到的新命题。逆否命题是将逆命题取反得到的新命题。3.命题的真假性命题的真假性需要通过证明或反证法来确定。如果可以找到一个例子使得命题成立，则命题为真；如果找到一个反例使得命题不成立，则命题为假。4.逆命题、否命题和逆否命题的真假性逆命题和否命题的真假性与原命题无关，可能与原命题相同也可能不同。逆否命题的真假性与原命题相同。5.命题的转化将命题转化成“若p，则q”的形式可以方便地判断其真假性。需要注意的是，转化后的命题可能不等价于原命题，因此需要进行证明。6.例题解答9.真命题是“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”，假命题是无法确定。逆命题是“若x＋y＝8，则x＝3，y＝5”，否命题是“若x＝3，y＝5，则x＋y≠8”，逆否命题是“若x＋y≠8，则x≠3或y≠5”。10.真命题。11.(1)逆命题是“如果两圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切”；否命题是“如果两圆内切或相交，那么两圆心距不等于两圆半径之和”；逆否命题是“如果两圆心距不等于两圆半径之和，则两圆内切或相交”。都是假命题。(2)逆命题是“如果一个数能被2整除，那么它不是奇数”；否命题是“如果一个数是偶数，那么它不能被2整除”；逆否命题是“如果一个数不能被2整除，那么它是奇数”。都是真命题。12.(1)若ac>bc，则a>b。真命题。(2)若y＝x＋1，则y＝3，x＝2。假命题，因为当y＝3时，x可以是2或1。(3)若m＞1，则mx2－x＋1＝无实根。真命题。(4)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0。真命题。(5)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1。真命题。13.是真命题。