新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语本章小结学案（含解析）

第一章集合与常用逻辑本章小结学习目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;2.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集;能使用维恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用;3.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.自主预习1.(多选题)下列结论错误的是()A.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}B.若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1C.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立D.含有n个元素的集合有2n个真子集2.(多选题)下列结论错误的是()A.若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件B.“长方形的对角线相等”是存在性命题C.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件D.p:∀x∈R,x2≥-1;p:∃x∈R,x2≤-1.3.已知区间A=(-3,1),B=[-2,3],则A∩B=,A∪B=.

4.若命题p:∃a∈R,一次函数y=x+a的图像经过原点,则p:;是命题.(填“真”或“假”)

课堂探究典例剖析,探究深化例1已知集合A={x|-3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集为R.(1)求A∩(∁RB);(2)若(A∪B)⊆C,求实数m的取值范围.变式训练已知集合A={x|-3≤x≤5},B={x|m+1<x<2m-1},C={x∈Z|x∈A或x∈B},(1)当m=3时,用列举法表示出集合C;(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.归纳小结:例2已知P={x|-2≤x≤10},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.【探究1】本例条件不变,若x∈P是x∈S的必要不充分条件,求m的取值范围.【探究2】本例条件不变,若x∈P的必要条件是x∈S,求m的取值范围.【探究3】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.归纳小结:自主总结,形成网络总结——交流——完善,得到本章的知识结构图:核心素养专练1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=()A.{1,6} B.{1,7}C.{6,7} D.{6}2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|x≤a},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,0]3.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m=()A.0或3 B.0或3C.1或3 D.1或34.(多选题)下列有关命题的说法错误的是()A.∃x0∈R,sinx0+cosx0=2B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R,使得x2+x-1<0”的否定是“∀x∈R,有x2+x-1≥0”D.命题“∀x<0,(x-1)(x+2)<0”的否定是“∃x0≥0,(x0-1)(x0+2)≥0”参考答案自主预习1.ABD2.BD3.[-2,1)(-3,3]4.∀a∈R,一次函数y=x+a的图像不经过原点假.课堂探究典例剖析,探究深化:例1解:(1)∁RB={x|x<0或x≥5};∴A∩∁RB={x|-3<x<0}.(2)A∪B={x|-3<x<5},∵(A∪B)⊆C,∴m≥5.∴实数m的取值范围为[5,+∞).变式训练解:(1)当m=3时,B={x|4<x<5},∴C={x∈Z|-3≤x≤5或4<x<5}={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.(2)∵A∩B=B,∴B⊆A,当B=⌀时,m+1≥2m-1,即m≤2;当B≠⌀时,m+1<2m-1,即m>2,易得m+1≥3,2m综上,得实数m的取值范围是(-∞,3].例2解:∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.∴1-m≥-2∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.综上,m的取值范围是[0,3].【探究1】解:由例知,S⫋P,∴1-m解得0≤m≤3或0≤m<3,∴0≤m≤3.故m的取值范围是[0,3].【探究2】解:由例知P={x|-2≤x≤10},若x∈P的必要条件是x∈S,即x∈S是x∈P的必要条件,∴P⊆S,∴1-m≤1+m,1-m≤-2,1+【探究3】解:由例题知P={x|-2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,∴1-m=-2,自主总结,形成网络:核心素养专练1.C2.A3.B4.ABD学习目标通过构建第一章知识网络,体现数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养,从而提高总结归纳、拓展提升的能力.自主预习请大家结合本章内容的学习,构建出本章的知识网络结构图.课堂探究素养一数学抽象例1已知集合a,ba,4={a2,a+3b,0},例2已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.变式训练已知集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A,求实数a,x的值.素养二数学运算例3已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}例4设全集I=R,已知集合M={-3},N={x|x2+x-6=0}.(1)求N∩(∁IM).(2)记集合A=N∩(∁IM),已知集合B=[a-1,a+5],a∈R,若A∩B=A,求实数a的取值范围.素养三逻辑推理例5集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是()A.S⊈P⊈M B.S=P⊈MC.S⊈P=M D.P=M⊈S例6写出下列全称量词命题或存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假:(1)p:空集是任何一个非空集合的真子集;(2)q:∀x∈R,4x2>2x-1+3x2;(3)r:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2;(4)s:所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.核心素养专练一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列表示正确的是()A.{所有实数}=R B.整数集={Z}C.⌀={⌀} D.1∈{有理数}2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∪(∁RB)=()A.{x|x>1} B.{x|x≥-1}C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}3.满足{1}⊆X⫋{1,2,3,4}的集合X有()A.4个 B.5个C.6个 D.7个4.命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是()A.对任意x∈R,都有x2<1B.不存在x∈R,使得x2<1C.存在x∈R,使得x2≥1D.存在x∈R,使得x2<15.命题“∃x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.∃x∈R,x3-x2+1<0B.∃x∈R,x3-x2+1≥0C.∀x∈R,x3-x2+1>0D.∀x∈R,x3-x2+1≤06.“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.a2>b2的一个充分条件是()A.a>b B.a<bC.a=b D.a=2,b=18.下列命题中,真命题是()A.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是ab=-D.∃x∈R,x2+2≤09.一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>110.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且A⊆∁RB,那么m的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.411.若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|5≤x≤16},则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A.{a|2≤a≤7} B.{a|6≤a≤7}C.{a|a≤7} D.⌀12.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设全集U=R,集合A={x|x<0},B={x|x>1},则A∪(∁UB)=.

14.命题“∀1≤x≤2,使x2-a≥0”是真命题,则a的取值范围是.

15.设集合A={x|0<x<1},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

16.定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.18.(本小题满分12分)已知A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求∁RA,∁R(A∩B),(∁RA)∩B.19.(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;(2)条件p:A⫋B,结论q:A∪B=B.20.(本小题满分12分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B;(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a},且B≠⌀.(1)若x∈A是x∈B的充分条件,求a的取值范围;(2)若A∩B=⌀,求a的取值范围.22.(本小题满分12分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:1x<1y的充要条件是xy>参考答案自主预习略课堂探究例1答案:4解析:因为集合a,ba,4={a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,当a=-2,b=0时,{-2,0,4}={4,-2,0}成立,此时2|a|+b=4;当a=2,b=0时,{2,0,4}={4,2,0},成立,此时例2解:由题设条件可知,1∈A,若a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去;若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.当a=0时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,满足条件;当a=-2时,a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不满足条件.综上可知,实数a的值只能是a=0.变式训练解:因为a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A,所以x2-5x+9=3,x2例3答案:A解析:集合A={x|-2<x<2},所以A∩B={0,1}.例4解:(1)因为M={-3},则∁IM={x|x≠-3},又因为N={2,-3},从而有N∩(∁IM)={2}.(2)因为A∩B=A,所以A⊆B,又因为A={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,即实数a的取值范围是[-3,3].例5答案:C解析:运用整数的性质求解,集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.例6解:(1)p:存在一个非空集合,空集不是该集合的真子集,假命题.(2)q:∃x∈R,4x2≤2x-1+3x2,真命题.(3)r:∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2,假命题.(4)s:有的圆的圆心到其切线的距离不等于半径,假命题.核心素养专练一、1.D[选项A不正确,因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义,因此不用再加“所有”;选项B不正确,Z表示整数集,不能加花括号;显然选项C不正确;选项D正确.]2.B[由B={x|x<1}可知∁RB={x|x≥1},A∪(∁RB)={x|x≥-1}.]3.D[集合X可以是{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},共7个.]4.D[因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“对任意x∈R,都有x2≥1”的否定是:存在x∈R,使得x2<1.故选D.]5.C[由存在量词命题的否定可得,所给命题的否定为“∀x∈R,x3-x2+1>0”.故选C.]6.B[当a=-1时,函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1与x轴只有一个交点;但若函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点,则a=-1或a=0,所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.]7.D[A中,当a=0,b=-2时,a2=0,b2=4,不能推出a2>b2;B中,当a=-1,b=1时,a2=b2,不能推出a2>b2;C中,当a=b时,a2=b2,不能推出a2>b2;D中,a2=4,b2=1,能推出a2>b2,故选D.]8.A[当x=2时,2x=x2,故B错误;当a=b=0时,满足a+b=0,但ab=-1不成立,故C错误;∀x∈R,x2+2>0,故∃x∈R,x2+2≤0错误,故选A.9.C[方程有一个正根和一个负根时,根据根与系数的关系知3a<0,即a<0,a<-1可以推出a<0,但a<0不一定推出a<-1,故选C.10.A[根据补集的概念,∁RB={x|x≥2m}.∵A⊆∁RB,∴2m≤2.解得m≤1,故m的值可以是1.]11.C[当3a-5<2a+1,即a<6时,A=⌀⊆B;当3a-5≥2a+1,即a≥6时,A≠⌀,要使A⊆B,需有3a-5≤16,2综上可知,a≤7.]12.C[由题图A,闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,不一定非要闭合开关K1,因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件.由题图B,闭合开关K1而不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,若要使灯泡R亮,则开关K1必须闭合.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件.由题图C,闭合开关K1可使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,开关K1一定是闭合的.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件.由题图D,闭合开关K1但不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,灯泡R亮也可不闭合开关K1,只要闭合开关K2即可.因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件.]二、13.{x|x≤1}[∵B={x|x>1},∴∁UB={x|x≤1},则A∪∁UB={x|x≤1}.]14.{a|a≤1}[命题p:a≤x2在1≤x≤2上恒成立,y=x2在1≤x≤2上的最小值为1,故a≤1.]15.充分不必要[由于A={x|0<x<1},所以A⫋B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.]16.18[当x=0时,y=2,3,对应的z=0;当x=1时,y=2,3,对应的z=6,12.即A☉B={0,6,12}.故集合A☉B的所有元素之和为18.]三、17.解:(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称量词命题;由于“任意”的否定为“存在