二次不等式恒成立问题数学原卷版学习资料

专题04恒成立问题一、单选题1．已知函数，若，则实数a的取值范围是A． B．C． D．2．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是A．恒成立B．恒成立C．D．当时，；当时，3．已知函数定义域为，其导函数为，且在上恒成立，则下列不等式定成立的是A． B．C． D．4．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是A． B．C． D．5．已知函数，其中，若不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．6．已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是A． B．C． D．7．已知函数在上恒成立，则a的取值范围是A． B．C． D．8．定义在实数集上的可导函数是偶函数，若对任意实数都有恒成立，则使关于的不等式成立的数的取值范围为A． B．(-1，1)C． D．9．设函数在区间上的导函数为，记在区间上的导函数为．若函数在区间上为“凸函数”，则在区间上有恒成立．已知在上为“凸函数”，则实数k的取值范围是A． B．C． D．10．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．11．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是A． B．0C．1 D．212．已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式恒成立的是A． B．C． D．13．设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是A． B．C． D．14．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为A． B．C． D．15．已知函数，，其中，若，，使得成立，则A． B．C． D．16．已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．二、多选题1．已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为A． B．C． D．2．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是A． B．C． D．3．已知函数在R上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论正确的是A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点C．时，不等式恒成立 D．函数至多有两个零点三、填空题1．已知，对任意的都有，则的取值范围为__________．2．已知对于恒成立，则的最大值为__________．3．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________．4．若对，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．5．已知对任意x，都有，则实数a的取值范围是__________．6．设函数，若对于，都有成立，则实数的取值为__________．7．设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________．8．当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__________．四、双空题1．已知，曲线在点处切线的斜率为__________；若恒成立，则a的取值范围为__________．2．已知函数，则__________；若，则实数的取值范围是__________．3．设函数，，则函数的最大值为__________；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．五、解答题1．设函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．2．已知函数．（1）若，求函数的单调区间（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．3．已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时恒成立，求实数的取值范围；4．设函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围．5．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围．7．已知函数，．（1）若，求的极值；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围．8．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围．9．已知函数．（1）求的最大值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围．10．已知函数．（1）若，讨论的单调性﹔（2）若对任意恒有不等式成立，求实数的值．11．已知函数．（1）若时求函数的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．12．已知函数．（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．

问题24含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．【小试牛刀】设函数．（1）求的最小值；（2）记的最小值为,已知函数,若对于任意的,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得．令,得；令,得,所以的单调减区间为,单调增区间为．从而．(三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】已知当时,恒成立,则实数的取值范围是____________.【分析】把不等式左边看作关于a的函数【解析】设,则对成立等价于,即,解之得或,即实数的取值范围是.【小试牛刀】已知函数,,且对任意的实数均有,．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的,恒有,求的取值范围．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）【解析】对,不等式恒成立,则由一次函数性质及图像知,即．【小试牛刀】若不等式在内恒成立,求实数的取值范围．综上得：．【小试牛刀】已知函数存在单调递减区间,求的取值范围3不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知当的值域是,试求实数的值．【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是．当时,由于时,,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数,∴,的最小值为,,令【例10】已知,,⑴若存在,使得,求实数的取值范围；⑵若存在,使得,求实数的取值范围；⑶若对任意,恒有,求实数的取值范围；⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围；⑸若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；⑹若对任意,存在,使得,求实数的取值范围；⑺若存在,使得,求实数的取值范围；⑻若存在,使得,求实数的取值范围.⑵解析：据题意：若存在,使得,即有解,故h(x)>,由⑴知h（x）=,于是得<.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0.点评：比较⑵、⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.⑷解析：由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.点评：⑶与⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以.点评：设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即.点评：因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.⑺解析：若存在,使得,则,即4,所以.点评：请将⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.⑻解析：若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是五、迁移运用1．若关于x的不等式在x∈(−∞,1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(−∞,−3]B．[−3,+∞)C．(−∞,3]D．[3,+∞)【答案】A2．已知实数x,y满足x+y≥50≤x≤30≤y≤4，若不等式axy0恒成立，则实数aA．（－∞，23）B．（4，＋∞）C．（43，4）D．（【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，根据二次函数的性质可知，解得−17．若关于x的不等式的解集包含区间(0,1)，则a的取值范围为（）A.(−∞,72]B.(−∞,1)C.【答案】D【解析】原不等式等价于,由于函数y=2x+1−12x在区间0,1上为增函数,当8．已知直线x=3与双曲线C:x29−y2=1的渐近线交于A,B两点，设A.a2+b2≥1B.【答案】C9．已知实数x，y满足约束条件x+y−5≥0y−x≥0y−12x−2≤0，若不等式A.73B.53C.5【答案】A整理函数的解析式有：14．已知关于实数x,y的不等式组构成的平面区域为Ω，若∀x,y∈Ω，使得恒成立，则实数m的最小值是____．【答案】37【解析】作出约束条件所表示的可行域如下：15．已知不等式对任意正整数k均成立，则实数x的取值范围___【答案】【解析】由，得：，记.则或x>0；或x>ln2；或x>ln3；或x>4；当k≥5时，x<lnk或x>所求范围为.16.已知函数.（Ⅰ）若对定义域内任意,成立,求实数的取值范围；（Ⅱ）若,求证：对,不等式恒成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）解：的导数为,令得,所以,,无最小值.（3）又（2）知,当时,,即.在式中,令,得,即,依次令,得.将这个式子左右两边分别相加,得.19.已知函数,．（Ⅰ）若,且存在单调递减区间,求的取值范围；（Ⅱ）设函数的图象与