太原市2023年高三年级一模数学试卷及答案

4,(l+x+x2)(l-4)6的展开式中炉的系数为

太原市2023年高三年级模拟考试(一)

A.9B.10

C.24D.25

数学试卷

5.在△4BC中,为垂足'若£=4肛则c°sB

(考试时间：下午3：00—5：00)

A-4

A-5

B・空

注意事项：

C2仃

1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第n卷5至8页。C-'-。・竽

2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。

6.算盘是中国传统的计算工具.其形长方.周为木框，内贯直柱，俗称“档二档中横以梁，梁上

3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，

两珠，每珠作数五，梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，

施如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。

4.回答第D卷时，将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170.若在个、十、百、

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠,再随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大

空

于200的概率为千百十个

位位位位

第I卷

ALlllllJsUU

军-I

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

C1Di

£合题目要求的.miTrnni

17

2

2y%+6x+5,xWT,

1.已知集合4={x\x<1},8=|x|log2«S1},则AU8二

7.已知函数/(%)=若函数g(#)=[/(4)F-⑺+2)/(%)+2m恰有

效2(4+1)一

,4>1,

A.(-l,2]B.(OJ)、e

5个零点,则实数项的取值范围为

葡C.(-8j]D.(-OO,2]

A.(-l,2)

2.设复数z满足(z+i)(z-i)=1+方(i为虚数单位)，则z=

D©,2)

捺C.吗)

A.±V2iB.±x/2i

8.已知广(*),g〈x)分别为定义在R上的函数/(#)和g(*)的导函数，且〃/-g，(*)=1,

€：.-1-1或1+»江-1+1或1-1

/(»)+g'(2-x)=1,若g⑺是奇函数，则下列结论不正确的是

3.已知等比数列{0}的前2项和为24,02-=6,则铀=

A.函数/(*)的图象关于点(1,1)对称

A.1B.；B.函数/(n)的图象关于直线*=1对称

C.g'(O)=O

C.1D.1

48D./(-3)=l

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时

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的

得0分.

9.已知函数/（x）=|$in%|+|cosx|,则下列结论正确的是

A./Q）的最小正周期为1T

B./（4）的值域为[1,0?]

C./G）的图象是轴对称图形

D./Q）的图象是中心对称图形

10.已知双曲线C:：-f=1的左、右焦点分别为F,,F?.过点K的直线与双曲线C的右支

交于两点,且4F,_L4B,则下列结论正确的是

A.双曲线C的渐近线方程为y=±苧，

B.若P是双曲线C上的动点，则满足忸吊|=5的点尸共有两个

S-

C.|4F,|=2+VT4

D.4ABF、内切圆的半径为'/14-2

11.已知正方体4BCD-4B,G5的棱长为4,E为侧面BCC,8,的中心.F为棱G"的中点,

煨

P为线段BD,上的动点,Q为上底面A,B,GD,内的动点,则下列结论正确的是

A.三棱锥P-8,EF的体积为定值

格

B.若EP〃平面4CQ,则EP=£产

蕉

C.若FQ_LDP,则线段FQ的最大值为2/9

D.当OQ与。4,的所成角为45。时，点Q的轨迹为双曲线的一部分

12.已知函数/（x）=靖,g（x）=xlnx,若直线y=6与曲线y=/（*）和y=g（工）分别相交于点

4（即/3））.8（处/区））.。（如，€（*,））,。（％，8（%））,且即＜小,如＜初,则下列结论正确的是

A.X|X）=#244B.X|X2=4344

=

C.In（如欠2）=%+4，D.«j+x2ln（x3x4）

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18.(本小题满分12分)

太原市2023年高三年级模拟考试(一)

在△48C中,Q,6,C分别为内角4&C的对边，点。在8c上,8O=2CDMO=2.

(1)从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求心

数学试卷(2)在(1)的条件下,求△48C面积的最大值.

-2\/3

条件①:sii?8+sin2c=sin4(---sinBsinC+sin4);

第n卷(非选择题共勉分)条件②:cos?A-cos%+sin2c=sinBsinC.

注:若条件①和条件②分别解等，则按第一个解答计分.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知|a|二La+6=(2,MJ)，则。与b的夹角为.

IV

14.已知#>0,y>0.—+y=2,则一的最小值为_______.

Ky

酬15.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F,过点尸的直线交。于两个不同点,

若丽•丽=-3,|"1・|8川=6,则直线48的斜率为.

K16已.知函数/(z)=e*r-尸"+asinEt有唯一的零点，则实数a的最大值为.

四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-A3C0中,48〃。。*8,40,且48=4。=2(?。=4,24=2,"48=60。,

-K17.(本小题满分10分)

已知等差数列｛4｝中,4=1,S.为｛凡｝的前几项和，且｛6｝也是等差数列.直线PA与平面48co的所成角为30。,E,尸分别是BC和PD的中点.

(1)证明：EF〃平面E4B；

然(1)求4；

(2)求平面P4B与平面R40夹角的余弦值.

(2)设6.=-^―(neN*).求数列｛6.｝的前n项和T..

演

捺

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20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)

某制药公司研发一种新药,需要研究某种药物成份的含量4单位:mg)与药效指标值已知椭圆C：［+1=1(Q>6>0)的右顶点为力，上顶点为反其离心率e=g,直线4B与

aD2

y(单位：m)之间的关系,该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据

圆*2+/=与12相切.

(如幻(i=1,2,…,20),其中阳,％分别表示第i次试验中这种药物成份的含量和相应的药效

2

指标值，且看产60,£y尸12OO,£X,=260.6/=81000,%%=4400.(1)求椭圆C的方程；

i■I«*I<-It■Ii=I

(2)过点MR,/)的直线与椭圆C相交于P,Q两个不同点，过点P作4轴的垂线分别与

(1)已知该组数据中y与4之间具有线性相关关系，求y关于#的经验回归方程彳=良+心

相交于点。和N,证明是PN中点.

(2)据临床经验，当药效指标值y在［45,75］内时,药品对人体是安全的，求该新药中此药

物成份含量工的取值范围；

(3)该公司要用A与B两套设备同时生产该种新药.已知设备A的生产效率是设备B的

倍，设备生产药品的不合格率为设备生产药品的不合格率为且设备与

2A0.009,B0.006,AB弊

生产的药品是否合格相互独立.

(i)从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；

'在

(ii)在该新药产品检验中发现有三件不合格品•求其中至少有两件是设备A生产的概率.

一三)(%-y)£町%一西

参考公式:£=―—；----------==---------,a=y-

-x)2溷

i»Ii>I22.(本小题满分12分)

已知函数/(%)=ax-(ax+l)liw.

港

(1)若f(%)恰有三个不同的极值点4］•孙，以孙<x2<孙),求实数a的取值范围;

(2)在(1)的条件下，证明:①X］孙m=1;@xt++x3>3(。-1).

格

震

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太原市2023年高三年级模拟考试（一）

数学试题参考答案及评分标准

、选择题：ACDBACDC

二、选择题：9.BC10.ACD11.AC12.AD

1U

三、填空题：13.30°14.115.±V2

71

四、解答题：17.解：（1）设｛/｝的公差为d,•.•｛]5：｝是等差数列，；.2医=店+店，

2j2+d=1+J3+3d,d—2,an=In-1（〃eN）；..........5分

(2)由(D得S“=幽y2=〃2,

工_.晨(4〃2-1)+1JI1………g分

anan+x(2M-1)(2«+1)4(2»-1)(2M+1)482»-l2〃+l

."■T=b\+b2H----也=2+1[(1-」)+(1一4)-1---1-(------------)]=——■......10分

"I?"483352/1-12〃+14/7+2

n巧

18.解：(1)选择条件①：sin2B+sin2C=sinA(sinBsinC+sinA),

由题意可得sin25+sin2C-sin2A=^^-sinAsinBsinC,

3

由正弦定理得b2+c2—q2=区3岳sin/,..........3分

3

由余弦定理b2+c2-a2=2hccosA可得——sinA=cosA,tan/=,

3

0<A<7r,A=60°；.....6分

选择条件②：cos2/-cos?5+sin2C=sin5sinC,

由题意可得1-sin?yl-l+sin2B+sin2C=sin5sinC,

即sin254-sin2C-sin2=sin5sinC，由正弦定理得/+c2-a2-be,..........3分

由余弦定理得cosA='+c--a-=1,

2bc2

0<A<7T,：.A=60°；.....6分

—,■1—*2—*

(2)由(1)得力=60。，•••8D=2CD,+—

33

----*21—►2.,1—“24—>24—k—k

AD=(—4B+—4C)2=—4B+-AC+-ABAC

33999

=—c2+—Z?2-\--bccosA=—c2+—62+—fee=4,•••••••••9„

999999

/.36=c24-4b2+2bc>4bc+2bc=6bc,be46,

SMBC=~bcsmA^—bc<万,

当且仅当6=JJ,c=2当时，△NBC的面积取最大值地

12分

19解：(1)取/£)的中点G,连接EG,EG,

•.•万是尸。的中点，，6/〃)「,

•.•/尸＜=平面乃18,EGcZ平面

GF〃平面R4B,

同理可得GE〃平面BI8,3分

•••GEr\GF=G,GEu平面GEb，GFu平面GEE，

：.平面GEF〃平面PAB,EFU平面PAB；6分

(2)以点/为原点，AB,所在的直线分别为x轴,y轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，由题意可得40,0,0),8(4,0,0),。(0,4,0),C(2,4,0),

PA=2,直线Ri与平面的所成角为30。，点尸的竖坐标z=l,

又•.•/RIB=60。，.•.点尸的横坐标x=l,纵坐标y=JI,.(1,6,1),8分

m±AB,

设加=(x”必,zj是平面以8的一个法向量，则.

InLAP,

4"[令必=],则Z1=_五,二m=(0,1,—J^),

Xj+y/2yi+Z]=0,

nI40

设“(》2，%/2)是平面均。的一个法向量，贝！'

n±AP,

令七=1,则%=-1n(1,0-1)，10分

%)+,2必+Z[=0,

mnV2V3

...COS<"1,">=~=；二一=--j=-r==------，

|/M||«|A/3-V23

73

平面E46与平面E40夹角的余弦值为12分

3

2020120_120

一之巧=y=一

20.W：(1)v£天=60,£y,=1200,：.X=3,X60,

20白-20勺%

i=i

20

gx仍-20xy4400_20x3x60,---

/.h=-----------=-------------%—=10,a=y—bx=60-10x3=30,

/2260-20x32，

),Xj-20x

<=i

.•・y关于x的线性经验回归方程为/=10x+30；…“3分

(2)由(1)W^=10x+30,v45<10x+30<75,/.1.5<x<4.5,

该新药中此药物成份含量x的取值范围为[1.5,4.5]；…-5分

(3)(i)设/="随机抽取一件新药，是设备A生产的"，则/="随机抽取一件新药,

是设备B生产的"，B="随机抽取一件新药为不合格品”，

2-1-

由题意得尸(⑷=§,尸(/)=]，P(B|/)=0.009,P(5|J)=0.006,

尸(3)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)-x0.009+-x0.006=0.008；8分

33

(ii)设。="抽到一件不合格的新药，它是设备A生产的”,

P(AB)_P(A)P(B|J)20.009_3

则P(C)=P(*B)---------=------------------——x--------=—10分

P(B)P(B)30.0084

3

设X表示三件不合格新药来自设备A生产的件数，则X〜5(3,-),

31727

所求事件的概率为NX22)=AX=2)+/X=3)=或x(*)2x*+C；x(a)3=石.……12分

Y

21.解：(1)由题意可得直线48的方程为一+y_.1,即bx+ay—ab=0,

a~b'

,o12ab怜，."/吟12(1+〃),

•,直线ZB与圆x+y=—相切，/r=-.—

7777^5/7

7私2=1"+/),

a2=4,

°】2i2222由可得

,•£=—=—,a=h+ca--b,片=》24

a23b2=3、

,椭圆C的方程为工+二=1；…“4分

43

(2)由题意可设尸(X|，H),Q(x2,y2),。(七,为)，N(xt,y4),

由(1)得42,0),5(0,73),则直线N8的方程为］+卡■=1，.•.%=6(1一5)，

直线40的方程为丁=上一。一2),...”=(五二2)艺,,

%2—2xz—2

设直线尸。的方程为歹=曲》一2)+百，k>0,

y=k(x-2)+43,

22

由x2y2得(3+4k)x+弘(石一2k)x+1_也k)=0,

43

8kQk-5邱2_尿)

:.x+x=---------o-，X1%2=------------08分

}23+4左2'-3+4公

.•.弘+J4—2%=乂+a—2皿_6(2_须)=a—2)%+3—2)y+百(玉—2)6-2)

x2-2x2-2

区一2)%+。2-2)必+A/3(X1-2)(X2-2)=x,y2+x2yx-2(y,+必)+为(石一2)(为一2)

=X,[k(x2-2)+73]+x2[^(x,-2)+73]-2(^+^)+73(%,-2)