二次根式例题讲解课件

第十六章例题讲解八年级下册第十六章例题讲解八年级下册1体系建构二次根式二次根式的概念二次根式的性质二次根式的运算本章知识结构图体系建构二次根式二次根式的概念二次根式的性质二次根式的运算本2知识梳理

知识点

1

与二次根式有关的概念：（1）二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.（2）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.（3）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.知识梳理知识点1与二次根式有关的概念：3知识梳理

知识点

2

二次根式的性质：（1）二次根式的双重非负性：a≥0且≥0.（2）（a≥0）（3）（a≥0）（a≤0）点拨：与的区别与联系.

呈现方式相近，所含意义不同；取值范围有别，运算顺序相反；运算结果虽不同，结果都是非负数.知识梳理知识点2二次根式的性质：（a≥0）（a≤0）4

知识点

3

二次根式的化简和运算：（1）二次根式的乘除

①二次根式的乘法法则：积的算术平方根的性质：②二次根式的除法法则：商的算术平方根的性质：（2）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式.知识梳理知识点3二次根式的化简和运算：知识梳理5知识梳理

本章概述

（一）本章的重点、难点：重点：二次根式的概念和运算；难点：二次根式的概念和运算.（二）本章的易错点：

1.对二次根式有意义的条件的理解；

2.二次根式的化简；

3.二次根式的运算：（1）忽视运算顺序；（2）混淆运算法则.知识梳理本章概述6典例剖析

例

1

完成下列各个问题：（1）使二次根式有意义的x的取值范围是

；（2）函数的自变量x的取值范围是

.x≥0.25x≥-3且

x≠1考点解析：1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；

2.分式有意义的条件：分母不等于0.典例剖析例1完成下列各个问题：x≥0.25x≥-37典例剖析

例

2

完成下列各个问题：（1）已知，则

；1考点解析：1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式；

2.几个非负数之和为0，则每个非负数都为0.典例剖析例2完成下列各个问题：1考点解析：8典例剖析

例

2

完成下列各个问题：（2）当x取何值时，的值最小？解：∵≥0

∴当时，的值最小解得即当时，的值最小考点解析：

二次根式的值为非负数.典例剖析例2完成下列各个问题：解：∵9典例剖析

例

2

完成下列各个问题：（3）若a＜1，化简式子的结果是（）A.B.C.D.D考点解析：

二次根式的性质：（a≥0）（a≤0）典例剖析例2完成下列各个问题：D考点解析：（a≥0）10典例剖析

例

3

化简：（1）；（2）；（3）.考点解析：1.商的算术平方根的性质；2.最简二次根式的条件.

简记：（如下图）最简二次根式根号内有分母要化去因式中能开尽要外移典例剖析例3化简：考点解析：最简二次根式根号内有分母11典例剖析

例

4

计算下列各题：（1）（2）考点解析：1.二次根式的加减法运算步骤：先化简→再分类→后合并

2.二次根式的乘除法运算步骤：先整合→再约分典例剖析例4计算下列各题：考点解析：12典例剖析

例

4

计算下列各题：（3）另解：原式＝考点解析：

巧用乘法公式、因式分解及运算律典例剖析例4计算下列各题：另解：原式＝考点解析：13典例剖析

例

4

计算下列各题：（4）考点解析：

混合运算步骤：运算顺序↓运算法则↓运算结果典例剖析例4计算下列各题：考点解析：14王牌例题

例

1

二次根式的大小比较问题（请在横线上填写“＞”、“＜”或“＝”）（1）；（2）；（3）.＜考点解析：

巧用二次根式比较大小的方法：（1）外因内移法；（2）平方法；（3）求差法.＞＞王牌例题例1二次根式的大小比较问题＜考点解析：＞＞15王牌例题

例

1拓展延伸

如图，在一块正方形ABCD的顶点A处，有一只兔子，在边AB的中点E处有一只狼，如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动，假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到达C处？AEBCD解析：

比较AC和BE＋BC的大小aaa0.5a王牌例题例1拓展延伸如图，在一块正方形ABCD16王牌例题

例

2

二次根式的化简求值问题已知，，

求式子的值.解：∵，∴

∴王牌例题例2二次根式的化简求值问题解：∵17王牌例题

例

2

二次根式的化简求值问题已知，，

求式子的值.考点解析：

化简求值步骤先化简再求值化简所求式化简已知式整体代入王牌例题例2二次根式的化简求值问题考点解析：先化简再18王牌例题

例

3

阅读理解，探索问题阅读材料：

小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，

∴，.这样小明就找到了一种把部分式子化为平方式的方法.请你按照小明的方法探索并解决下列问题：王牌例题例3阅读理解，探索问题19王牌例题

例

3

解决问题设则有∴，（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子表示a、

b，则a＝

，b＝

；m2＋3n22mn（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：

＋

＝（

＋

）2；（3）若，求a和n的值.解：∵b＝12，m＝3根据题意，得解得王牌例题例3解决问题设（1）当a、b、m、n均为20王牌例题

例

3

阅读理解，探索问题考点解析：

阅读理解思维过程阅读——关键理解——核心应用——目的

例

3拓展延伸、课下思考

若，且a、m、n均为正整数，求a的值.王牌例题例3阅读理解，探索问题考点解析：阅读——关