高数下学期期末试题(含答案)3套

高等数学期末考试试卷1一、 单项选择题分）1、设直线(

，平面 ，那么与之间的夹角为A.02、二元函数B.在点C.处的两个偏导数都存在是在点D.处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件3、设函数，则等于（）3、设函数，则等于（）A.B.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性C．D.4、二次积分交换次序后为（）A.B.C.D.6C．D.4、二次积分交换次序后为（）A.B.C.D.

的一个解若 则 在A.某邻域内单调减少 B.取极小值1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝C.某邻域内单调增加 D.取极大二、 填空题1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。(46、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。2、设，，那么3、D，时，4、设2、设，，那么3、D，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为3、计算二重积分，其中

，其中是沿曲线 由点（0，1）到点5、求级数的和。(10分5、求级数的和。曲线方程。

曲线上任一点的切线在

轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此2、解：令2、解：令设收敛，证明级数绝对收敛。(6设收敛，证明级数绝对收敛。一、 单项选择题分）1、 A 、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D1、22、3、4、二、 填空题1、22、3、4、5、6、07、1、解：令则，故(5×95、6、07、1、解：令则，故当＝＝＝＝＝

，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择 由（0，1）到则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则5、解：令则，即令，则有＝(10分令，则有＝解：设曲线上任一点为，则在轴上的截距为过的切线方程为：过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有令解：设曲线上任一点为，则在轴上的截距为过的切线方程为：过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即由的任意性，即，得到……..(1)由的任意性，即，得到……..(1)而与都收敛，由比较法及其性质知：收敛故而与都收敛，由比较法及其性质知：收敛故绝对收敛。证明：即五、证明题(6)证明：即C.D.4、设，改变其积分次序，则I＝（C.D.4、设，改变其积分次序，则I＝（）A.B.C.D.高等数学期末考试试卷2一，单项选择题分）1、直线一定()2、二元函数在点处A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于xC.不过原点，但垂直于x轴 D.不过原点，但平行1、直线一定()2、二元函数在点处A②③①B.③A②③①B.③②①3、设，则等于（）A.0B.C.3、设，则等于（）A.0B.2、设，则＝2、设，则＝6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为5、若与都收敛，则（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散C.不能确定其敛散性6、二元函数的极大值点为（）A.(1,0)D.(-3,2)B.(1,2)C.(-3,0)1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为二、 填空题1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为3D：3D：，5、幂级数的和函数为＝5、幂级数的和函数为7、若收敛，则＝8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为1、设可微，由确定，求及7、若收敛，则＝8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为1、设可微，由确定，求及。3、求幂级数的收敛半径与收敛域。4、求曲线积分3、求幂级数的收敛半径与收敛域。边界取顺时针方向。(10分)曲线 上的纵坐标，求此曲线方程。(6分)

，其中是由 所围成区域的横坐标的平方是过 点的切线与轴交点2、计算二重积分，其中2、计算二重积分，其中。设正项级数收敛，证明级数也收敛。一、 单项选择题设正项级数收敛，证明级数也收敛。1、 A 、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D1、2、3、44、5、6、7、18、二、 填空题1、2、3、44、5、6、7、18、1、解：令(4×7)1、解：令2、解：＝＝===3、解：令对于，当时＝发散当2、解：＝＝===3、解：令对于，当时＝发散当时，＝也发散所以在时收敛，在该区间以外发散，即解得故所求幂级数的收敛半径为2，收敛域为（0，4）4、解：令，则，由格林公式得到＝＝＝＝4解：过的切线方程为：依题意有：即…………..(1)令X＝0，得对应的齐次方程解为将代入（1）得：令所求解为由比较法及收敛的性质得：收敛。解：过的切线方程为：依题意有：即…………..(1)令X＝0，得对应的齐次方程解为将代入（1）得：令所求解为由比较法及收敛的性质得：收敛。故（1）的解为：证明：由于收敛，所以也收敛，而五、证明题(6分故（1）的解为：证明：由于收敛，所以也收敛，而高等数学期末考试试卷3一．选择题(4分6=24分)1、设a,b,c为非零向量，则(ab)c=[ ]．(A) a(bc)(B) (ba)c(C) c(ab) (D) c(ba).函数zf(x,y)在点(x,y)可微分的充分条件是f(x,y)在(x,y)处[ ]．0 0 0 0(A)两个偏导数连续 (B)两个偏导数存在(C)存在任何方向的方向导数 (D)函数连续且存在偏导数D:x

y

2x，fx,yD

f(x,=[ ]．(A)

d2sin

Df(rcos,rsin(B) 2d

2cos

f(rcos,rsin(C)

0 02d2cos2 02

f(rcos,rsin

(D)

0 02d2sin2 02

f(rcos,rsin二、填空题(4分6=24分)直线x1y2z与平面xy2z60的交点是 ．2 1 3用钢板做体积为8m3的有盖长方体水箱．最少用料S= m2．二次积分1dx0

1ey的值是 ．x设x

y

z

a2(a0)，则(xy)2dS= ．3 3小ftz5x

2y2．在(,1,)处登ft，最陡方向2 4（10分）求过点(1,2,3xy

z而与平面7x8y9z100的4 5 6平行的直线方程．1四10分）将函数f(x) 展开成1的幂级数．并给出收敛域。x24x3五10分）计算三重积分 (x2y2xdv其中是由抛物面2z及平面5所围成的空间闭区域1y2六（10分设L是由直线x2y2上从(2,0)到B()一段及圆弧x1y2从B(0,1)再到C(1,0)的有向曲线，计算

(x22y)dx(3xyey)dyL七10 分）计算曲面积x2y2z22az(a0)

x3dydzy3dzdxz3dxdy，其中 为球面（10分）设uf(x2y2,z)，f具有二阶连续偏导数，而zz(x,y)由方程2uxyzez确定，求xy。一．选择题（4416分1D。c(bacababc)(abc2【解】应选择。f(x,y),fx微分

x,y)在点Pxyy 0 0

)连续 zf(x,y)在点P(x,y0 0 0

)处可3C。在极坐标下D:2

2

,0r2cos f(x,D

= d2cos2 022

f(rcos,rsin二、填空题（6424分1(,,3)直线化为参数式x12ty2t z3t代入平面方程2t(2t2(3t60得 t1代入参数方程得 xyz3故交点为 (1,1,3)224m2设水箱的长为xm宽为ym则其高应为8m此水箱所用材料的面积为xy8 8 8 8S2(xyy x )2(xy )(x0,y0)xy xy x y令S y8)0 S x8)0得x2y2x x2 y y2即当水箱的长为2m、宽为、高为8 2m时水箱所用的材料最省22S(2,2)2(222222)24m23【解】应填111)2 e1 1 1 y 1

1 1 1 1dxey2dy=ey2dydx=yey2dy= ey2=2 )0 x 0 0 8

2 e0【解】应

a43(xy)2dS=(x2y22xy)dS=2x2dS =2(x23

y2

z2)dS=2a2dS=843 3 【解】应填3i4j3 3 3在(

,1, )处登ft，最陡方向是z5x22y2在( ,1)的梯度方向2 4 2gradz(3,1)(2xi4yj)2

(3,1)2

=3i4j【解】应填12xfx间断点，故s(12

，而x2

是f(x)连续点，s( )2 2s(s(=12 2三【解】已知直线方向向量s (4,5,6)，已知平面法向量n(7,8,9) （4分）1设所求直线方向向量s ，则i jss1n4

k69i6jk k69

8分）7 8所求直线方程为x1y2z3

……………（10分）1 2 1四．【解】因为f(x) 1

1 1

……（2分）x24x3 (x1)(x3) x) 2(3x) 1

1………………（4分）x1)

x1)2 414n0

(1)n

(x1)n2n

18n

(1)n

(x1)n4n

………………（6分）x-1x-14

(1)n(12n21

122n3

)(x1)n

…………（8分）x-x-12

1

1 （9分）解出收敛域为 （10分）五 【解】积分区域关于yoz面对称，xdv0在柱面坐标下积分区域可表示为0 0r

r210210

z5 （2分）(x2

y

x)dvr2rdrddz （4分） 102d r3dr510

dz （6分）0 0 1r22101100

(5r3

2r5)dr （8分）5r4 1

10

2504

12r60

3 （10分）【解】补充CAx轴上由C(1,0A(2,0则L和CAQ P

…………（2分）Px22y,Q3xyey。x则由Green公式

3(2)5。 （4分）原式

LCA CA 1

5dxdyCAD2

………（6分） 12 x2dx （8分）4 2 15(4

352 （10分）4七【解】由Gauss公式原式x2y2z2)dv （2分）3r2r2sindrdd （4分）32dsind2acosr4dr20 0 (2a)5

………（6分）6

2cos5sind （8分）5 0(2a)5 1 32 5 6

5a

………………（10分）八【解】由方程xyzez两边关于x求导得z z1xezx

（2分）z 1

z类似地有

1（4分）x 1ez y 1