三自由度齿轮系统周期轨道稳定性的cpnf法研究

三自由度齿轮系统周期轨道稳定性的cpnf法研究

0线性动力学特性由于传动效率高、结构紧凑、使用范围广，该变速器已广泛应用于机械工程中。含间隙和时变啮合刚度的齿轮传动系统的周期运动是其非线性动力学特性研究的一个重要分支。KAHRAMNA本文中我们将以单级三自由度齿轮转子系统的间隙非线性动力学模型为研究对象,采用有限差分形式的Jacobi矩阵,解决系统的非光滑问题Jacobi矩阵解析式难以获得问题;通过CPNF(continuePoincare-Newton-Floquet)法求解系统的周期解并判稳,研究三自由度齿轮转子系统随无量纲转速的分岔特性。1三轴齿的非线性动态模型三自由度单级齿轮转子传动系统动力学模型如图1。图中,m式中,y取{y式中,f(x2cpnf法的周期解和稳定CPNF法是基于PNF法和外参数延续分岔算法的一种可以同时进行周期运动求解和判断、参数分岔的数值算法。2.1基于构造动力系统不动点的求解将微分方程式(2)改写为周期激励的n+1维状态方程式中,T系统的m倍周期(T=mT在n+1维状态空间中定义n维Poincaré截面那么连续动力系统的周期运动解就等价于求解离散系统不动点的解向量x方程式(8)的求解可按打靶法思想进行:事先给出X将P(X)在给定的初始点X式中,P(X将式(9)代入式(8)中,可得式中,I为n×n的单位矩阵,P(X式中,f微分方程式(11)以(X令x对于系统(4)特定参数通过式(10)求得周期解和判稳后,根据延续分岔算法引入分岔参数Ω,采用延续追踪的方式进行周期追踪。引入外参数Ω后,方程式(8)离散动力系统转化为式(12)的解曲线问题。设已求得Ω=Ω式中,G以(X取步长#Ω,从初始外参数Ω2.2有限差分jacobi矩阵机械传动系统中的间隙、预紧约束以及干摩擦等会造成系统的非光滑式中,ΔX2.3系统周期解决方案的稳定性根据Floquet理论3齿轮耦合综合误差的统计分析以文献[3]考查无量纲转速Ω=1.44时周期运动及其稳定性。任取迭代初始点X(0)=(0.5,0,0.5,0,0.5,0),通过PNF法迭代,获得4个共存周期不动点:分别以上述不动点按Poincaré积分一个映射周期获得各周期的相图,如图2所示。本文中只给出了齿轮啮合综合误差的无量纲位移x不动点计算过程中同步获得的周期1(由于篇幅所限,其余周期未列出)在离散状态的转移矩阵P其Flouqet乘子的特征值模向量为:(-1.2624,-0.6280,0.1507±0.9040i,-0.6220±0.4046i)。Floquet乘子模|λ|在同组参数下采用4-5阶Runge-Kutta直接数值积分进行验证,去除瞬态响应后,稳态响应的时间历程图和Poincaré映射图如图3所示。上述验证结果充分说明,同组参数下数值积分法仅能获得稳定周期8的轨道运动状态,这与CPNF法分析的结果相吻合。不稳定周期1、周期2与周期4运动只能采用CPNF法获得。这些不稳定的周期轨道为三自由度齿轮转子传动系统的混沌控制提供了丰富的目标轨道。4不同周期分岔失稳情况令三自由度单级齿轮转子系统的无量纲转速Ω在1.420~1.540范围内连续变化,并采用CPNF方法考查随参数Ω延续追踪其周期稳定性和分岔失稳现象,其结果如图4所示。图4中,横坐标为无量纲转速Ω,纵坐标为Floquet乘子模的最大值|λ|通过CPNF法对不同周期的分岔失稳情况进行延续追踪,其各稳定和不稳定周期共存的情况汇总如表1所示。总结以上分析,可以大致描绘出在无量纲转速区间1.540~1.420内以及1.42以后转速区间上系统运动稳定性的分岔情况,如图5(a)所示。稳定运动周期用实线表示,不稳定运动周期用虚线表示。采用Runge-Kutta数值积分方法对系统方程(2)在转速区间1.540~1.420内数值积分验证,并叠加CPNF法延续追踪的不稳定周期解获得其分岔特性图如图5(b)所示,图中“·”表示稳定映射周期点,“×”表示不稳定映射周期点。为了验证经过倍周期分岔后混沌运动的发生,绘制了Ω=1.420时的系统Poincaré映射图,如图6所示。5自由度齿轮转子非线性传动系统周期轨道问题的验证(1)针对非光滑齿轮系统的Jacobi矩阵不可微的问题改用有限差分法近似替代,使光滑系统的CPNF法适用于非光滑齿轮系统的周期轨道的求解、判稳及延续追踪分岔现象。通过算例的CPNF法计算结果和数值仿真结果比较验证了该方法的有效性。(2)在特定参数组合下,三自由度单