南昌大学一维随机变量及其分布课件

12.

分布函数的性质1.

随机变量分布函数的概念(单调不减性)一、复习12.分布函数的性质1.随机变量分布函数的概念(单调不减2离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布二项分布泊松分布两点分布退化分布2离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布二项分33445一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布三、小结第2.3节连续型随机变量

及其概率密度5一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布三、小6

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.6连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,7性质证明一、概率密度的概念与性质1.定义7性质证明一、概率密度的概念与性质1.定义81证明xxf0)(81证明xxf0)(9同时得以下计算公式

对

f(x)的进一步理解:9同时得以下计算公式对f(x)的进一步理解:10(4)

若x是

f(x)的连续点，则：=f(x)连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续10(4)若x是f(x)的连续点，则：=f(x11注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关11注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a12设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型12设X为连续型随机变量，X=a是不可能若X为离散型例1：

设X的概率密度解：下求分布函数F(x)本题的分布函数是不是分段函数呢?如果是,应该分几段?例1：设X的概率密度解：下求分布函数F(x)本题的分布（2）利用注意积分限的变化（2）利用注意积分限所以或所以F(,)是分段函数,共两段所以或所以F(,)是分段16解题16解题17171818191920例220例221故有解(1)因为X是连续型随机变量,21故有解(1)因为X是连续型随机变量,22222323练一练（2)求X

的密度函数练一练（2)求X的密度函数25二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度函数图形25二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度26由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],

[c,c+l][a,b],有:P(c≤X≤c+l)26由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,27即X落在(a,b)内任何长为

l的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.(均匀性)均匀分布常见于下列情形：比如:在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.27即X落在(a,b)内任何长为l的小区间的均匀分布28解则有实根的概率为例328解则有实根的概率为例3

例4

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟发一趟车，已知某乘客在7：00到7：30任一时刻到达车站，求他候车时间少于5分钟的概率.解:

由题意，乘客到达车站的时间X~U(0,30)，P{候车时间少于5分钟}例4某公共汽车站从上午7时起，每15分钟发一趟车，已知某30题设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3的次数”,解即A={X>3}.30题设随机变量X在[2,5]上服从均匀分31因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则31因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则322.指数分布322.指数分布33应用与背景分布函数指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.33应用与背景分布函数指数分布有着重要应用，如动植物的寿命例5

设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为

求(1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率.(2)任取5只产品,求有2只寿命大于100小时的概率.答：(1)e-1(2)例5设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为答：(1)e35例6

设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为

=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

X的分布函数为解35例6设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为X的363637指数分布的重要性质:“无记忆性”

元件在使用t时间后无损坏,用指数分布来计算,其寿命与新的时候相同.指数分布的这一性质在可靠性理论以及排队论中有着很好的应用。37指数分布的重要性质:“无记忆性”383839题顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1/5的指数分布，X的计时单位为分钟。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数。求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率。39题顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1/5的其中

,(

>0)为常数,则称X服从参数为

,

的正态分布，记为.显然，f(x)≥0，且可以证明参数的意义将在后面的章节中给出

(三)正态分布正态分布的分布函数为:若随机变量X的概率密度为显然，f(x)≥0,且其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,正态分布的f(x)及F(x)的图形:图10xf(x)图2F(x)0x正态分布的f(x)及F(x)的图形:图正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1)

曲线关于直线x=

对称.(2)

当x=

时，f(x)取得最大值;(3)

在x=

处曲线有拐点，且以x轴为渐近线;Of(x)x

(4)

对固定的

,改变

的值,图形沿x轴平移;(5)对固定的

,改变,

越小,图形越尖,X落在

附近的概率越大.正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1)曲线关于直线

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;高考的考试成绩；高度经济学中的股票价格、产品的销量电子元器件的信号噪声、电压、电流；等等，都服从或近似服从正态分布.一般来说，一个随机变量如果是大量相互独立的偶然因素之和，而每个因素的个别影响在总的影响中所起的作用都很微小，那么这个随机变量就会服从或近似服从正态分布。正态分布的应用与背景

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误标准正态分布当

=0,

=1时,称X服从标准正态分布,记作X～N(0,1).其概率密度与分布函数分别用

(x),(x).即xOxO-

标准正态分布当=0,=1时,称X服从标准正态分布,记作(1)

(x)是偶函数，即

(

x)=

(x);

(x)与

(x)的性质(2)当x=0时，

(x)

取得最大值;(3)

(

x)=1

(x);引理设,则(4)若X～N(

,

2)标准正态分布2°

1°若X～N(

,

2),则(1)(x)是偶函数，即(x)=(x);(x证明:

的分布函数为由此知证明:的分布函数为由此知例6

已知,求例7

设X～N(1.5，4)，求P{1<X<3.5}，P{X<-4}.解P{1<X<3.5}解例6已知,求48题已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解48题已知且P(2<X<4)=0.3,49

例8

公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在

0.01以下来设计的.问门高度应如何确定?解设车门高度为hcm,按设计要求应有P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面求满足上式的最小

h：若男子身高X～N(170,62),∵X～N(170,62),查表得

(2.33)

=

0.9901>0.99，

h=170+13.98

184.设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.若

X～N(

,

2

)时，要求满足

P(X

>x0)=p

的

x0：

P(X

>x0)=p

49例8公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在正态分布的实际应用已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？

某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩分析

首先求出和然后根据录取率或者分数线确定能否录取正态分布的实际应用已知90分以上的12人，60分以下的解成绩X服从录取率为可得得查表得解成绩X服从录取率为可得得查表得解

查表得………..解得故设录取的最低分为则应有某人78分，可被录取。解查表得………..解得故设录53类似计算可得，=

0.

9974

例9设X～N(

,

2

)，

解求P(|X-

|

<

k

)k=1,2,3.P(|X-

|

<

3

)

=

P(

-

3

<

X<

+

3

)

这表明

X的取值几乎全部集中在区间[-

3

,

+3

]内，

这在统计学上称作

3

准则(三倍标准差