第十章第五节三重积分概念与计算一定义二利用直角坐标

一、三重积分的定义二、利用直角坐标计算三重积分第五节 三重积分的概念与计算步骤如下：分割成若干小块，取典型小块，在每一小块上将其近似看作均匀，求和取极限得到空间物体的质量一、三重积分的定义(

x,

y,

z)

C

,求质量M

.空间闭区域

内分布着某种不均匀的物质,密度为

vk

(

k

,

k

,

k

)n

0

k

1M

lim

(

k

,

k

,

k

)

vk定义：设f(x

,y

,z

)是空间有界闭区域

上的有界函数，将闭区域

任意分成n

个小闭区域

v1

，

v2

,

,

vn

，其中

vi

表示第i

个小闭区域，也表示它的体积,在每个

vi

上任取一点(

i

,

i

,

i

)作乘积f(

i

,

i

,

i

)

vi

，(i

1,2,

,n)，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值

趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f

(x

,y

,z

)在闭区域

上的三重积分，记为

f

(

x

,

y

,

z

)dv

,

n

0

i

1即

f

(x,y,z)dv

lim

f

(

i

,

i

,

i

)

vi

.其中dv

叫做体积元素.在直角坐标系中，如果用平行于坐标面则

vi

xj

yk

zl

.的平面来划分

,三重积记为

n

0

i

1

f

(

x,

y,

z)dxdydz

lim

f

(

i

,

i

,

i

)

vi

.其中dxdydz

叫做直角坐标系中的体积元素.性质:1、线性性质2、区域可加性3、保序性(或保号性)4、估值不等式5、积分中值公式存在性定理、几何意义34

2383

f

(

x,

y,

z)dxdydz

:

x

2

y

2

z

2

1

其中

f

(

x

,

y

,

z

)

3

x

2

y

2

z

5思考：证明解：原问题等价于求函数u(

x

,

y,

z

)

x

2

y

2

z

5在x2

y2

z2

1的最值当x2

y2

z2

1时，ux

1,

uy

2,

uz

2,所以在球内部没有函数的驻点。当x2

y2

z2

1时，构造辅助函数F(x,

y,

z,

)

x

2y

2z

5

(x2

y2

z2

1)

z

F

x2

y2

z2

1

0F

2

2

z

0Fx

1

2

x

0Fy

2

2

y

0解得,

)3

3

32

1

2

23

3

3P

(

1

,

2

,

),P

(

,

1

2u(

P1

)

2,

u(

P2

)

8二、

三重积分的计算利用直角坐标计算三重积分方法1切丝法(投影法、“先一后二”)方法2切片法(截面法、“先二后一”)yzD2

z

S2z1

S1(

x,

y)z

z1z

z2

(

x,

y)a

oby

y1

(

x)y

y2

(

x)(

x,

y)如图，闭区域

在xoy面上的投影为闭区域D,S1

:

z

z1

(

x,

y),S2

:

z

z2

(

x,

y),过点(x,y)

D

作直线,从z1

穿入，从z2

穿出．x方法1 切丝法(投影法

、“先一后二”)先将x,y

看作定值，将f

(x,y,z)只看作z

的函数，则

1z2

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dzF

(

x,

y)

计算

F

(

x,y)

在闭区域

D

上的二重积分[1

Dz2

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)

Df

(

x,

y,

z)dz]d

.F

(

x,

y)d

[1

Dz2

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)

Df

(

x,

y,

z)dz]d

.F

(

x,

y)d

Dz

(

x

,

y

)2z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dzd

xd

y记作

2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)Df

(

x,

y,

z)dzd

xd

y直角坐标系中将三重积分化为三次积分．设区域

:

a

x

b

y

(

x)

y

y

(

x)(

x,

y)

D

:

1

2z1

(

x,

y)

z

z2

(

x,

y)

2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)Df

(

x,

y,

z)dzd

xd

y

2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dz

2y

(

x

)y1

(

x

)d

y

badx注意这是平行于z

轴且穿过闭区域

内部的直线与闭区域

的边界曲面S

相交不多于两点情形．例

1

化三重积分

I

f

(

x,

y,

z

)dxdydz

为三

次积分，其中积分区域

为由曲面

z

x

2

2

y

2及z

2

x

2

所围成的闭区域.解由

2z

2

x

z

x

2

2

y2,

y2

1,x2课本例题

2

x2

2

y2

z

2

x2故

：

1

x

y

1

x

1

x

12,1222

12

x2x

2

y1

x2

1

xf

(x,

y,

z)dz.dydx

I

例2

化I

f

(

x,

y,

z

)dxdydz

为三次积分，

其中

为由曲面z

x

2

y

2

,y

x

2

,y

1,z

0所围

11

12x

2

y

20xf

(

x

,

y,

z

)dzdydxI

解

:

0

z

x

2

y

2x2

y

1,

1

x

1.课本例题解

z

2

R2

.

其中

:x

0,y

0,z

0,x

2

y2例3

计算

zdv,

0R2

x2R2

x2

y2Rzdzdx

0

dy

0zdv

0012R

x

2

y

2

)dyR2

x2(

R2dx课本例题

R032(

R

x

2

)2

dx13

0443

2

cos

dtRx

R

sin

t3

4

2

2

1644

1

R

3

1

R

.解

dy1

y0

01

y

2

dx例

4

计算由柱面

y

2

z

2

1

及三个平面

y

x,

z

0和x

0

所围成立体的体积.

103y

1

y

2

dy

1

.

1

y

1

y2V

dxdydz

0

dy

0

dx

0

dz课本例题例

5

将

110

0

02

2x

ydydxf

(x,y,z)dz

按y,z,x的次序积分.解

101002f

(

x

,

y

,

z

)dy

dzdxx原式

z

x

2dz

1dx

x

2

1

10

x

2f

(

x

,

y

,

z

)dy

.yz

Dz1

S1z

z1

(

x,

y)z

z2

(

x,

y)z2

S2a

obxy

y1

(

x)y

y2

(

x)(

x,

y)(1)把积分区域

向某轴（例如z轴）投影，得投影区间[c1

,c2

]；(2)对z

[c1

,c2

]用过z

轴且平行xoy

平面的平面去截

，得截面Dz

;(3)计算二重积分

f

(x,y,z)dxdyDz其结果为z

的函数F

(z)；(4)最后计算单积分

1c2cF

(z)dz

即得三重积分值.z方法2 切片法(截面法

、“先二后一”)例

6

计算三重积分

zdxdydz

，其中

为三个

坐标面及平面x

y

z

1所围成的闭区域.解

zdxdydz10

Dzdxdy,zdzDz

{(

x,

y)

|

x

y

1

z}2zD

dxdy

1(1

z)(1

z)

原式

10212z

241(1

z)

dz

.xozy111课本例题

例

7

求

z2dxdydz

，其中

是由椭球面a2

b2

c2x2

y2

z2

1所成的空间闭区域.

:

{(

x,

y,

z)

|

c

z

c,1

2

}cx2

y2

z22

Dzc

cdxdy,a2

b2原式

z

dzxyzozD解课本例题2

)cz2cz2zD2

)

b

(1

2a2

(1

dxdy

c2

),2

z

ab(1

c

cc222

z)z

dz

ab(115

4

abc3

.原式注：

x2dxdydz

小结:三重积分的计算方法

2z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)Df