不可压库埃特流的数值解课件

第9章不可压库埃特流的数值解主讲人：彭赛，韩昭辉时间：2016.5.8不可压库埃特流的数值解ppt课件9.1引言局限性：1）之前第7,8章的数值方法是双曲型偏微分方程的显示解法，这限制了推进的步长；2）之前讲的都是无粘的流动。本章的改进或不同之处：1）求解控制方程的方法是隐式的差分解法；2）问题的控制方程为抛物线方程；3）考虑的问题是粘性的流动。本章具体考虑的是不可压库埃特流动。1）有解析解；2）粘性流动，与边界层的流动具有很多相似的物理性质；3）提出压力修正的方法处理二维不可压的N-S方程。9.1引言9.2物理问题及其解析解平行平板的间距为,上平板以运动，下平板静止，，粘性流动。不可压流体的质量守恒方程为(9-1)如果我们认为方向无限长，则有(9-2)则可以将(9-1)式简化为(9-3)而上下边界处有(9-4)故整个流场中都有(9-5)

9.2物理问题及其解析解考虑方向的动量方程(9-6)不考虑体积力，则可以简化为(9-7)而牛顿流体切应力与速度的关系有

(9-8)因此(9-7)式可以简化为(9-9)所以库埃特流动，在和方向都没有压力梯度。考虑方向的动量方程(9-10)由于(9-11)(9-12)将(9-11)和(9-12)带入(9-9)有(9-13)考虑方向的动量方程流动不可压、恒温的，则常数，有(9-14)对积分两次有(9-15)其中和是积分常数，考虑边界条件，则有(9-16)流动不可压、恒温的，则常数，有9.3数值方法：隐式克兰克—尼克尔森方法初始速度剖面设定(9-17)速度剖面随时间演化如图所示。经过足够长的时间，速度剖面的形状趋近于9-2d所示的定常流。图9-2中，速度剖面随时间变化的流动称为非定常的库埃特流动。这里任然假设和，沿方向的非定常库埃特流动，控制方程为(9-18)这是一个抛物线型的偏微分方程，可以在时间上推进求解。9.3数值方法：隐式克兰克—尼克尔森方法9.3.1数值方法把(9-18)表示成无量纲的形式。定义如下的无量纲变量

把方程(9-18)无量纲化为

或(9-19)在(9-19)中，我们发现

是按照两平板之间距离计算的雷诺数，于是方程(9-19)变为(9-20)省略“ˊ”号，(9-20)可改写为(9-21)根据克兰克-尼克尔森格式，方程(9-21)的有限差分表达式为

9.3.1数值方法

(9-22)方程(9-22)可以表示成如下形式：

(9-23)其中

(9-24)

(9-25)

(9-26)求解方程(9-24)的网格如图9-3所示。(9-27)

和可以通过边界条件得到(9-28a)(9-28b)由式(9-23)可以得到一个方程组

第一个方程组是(9-29)因为

，因此方程(9-29)变为(9-30)式(9-23)所代表的最后一个方程为(9-31)因为。因此方程(9-31)变为(9-32)于是，由(9-23)所代表的方程组可以用矩阵的形式表示为：第一个方程组是(9-33)这是一个三对角的方程组，可以用托马斯算法。把托马斯的算法应用到式(9-33)所表示的方程组上，将得到，

，…，。它们是时刻的速度值。然后，反复进行这个过程，直到速度剖面收敛到一个稳定的状态，如图9-2所示。9.3.2问题的提法这里取了21个网格点，因此

本问题的特点，稳定性好，但是我们如果要研究开始流动的瞬时变化，那么应取得小一些，以降低时间上的截断误差。不可压库埃特流的数值解ppt课件相应的显示算法的稳定性条件是(9-34)也就是(9-35)在这里我们取(9-36)来通过数值的实验考察在这个范围内得到的结果。(9-37)将(9-37)式带入(9-24~26),我们得到(9-38)(9-39)(9-40)我们通过解析解可以发现最终稳态的时候速度剖面与是没有关系的，但趋近定常状态的瞬时过程却是依赖于的。这里定义了参数,排除了雷诺数的影响，得到更本质的特性。相应的显示算法的稳定性条件是

9.3.3中间结果取和,考察1个时间步之后的速度剖面9.3.4最终的结果9.3.3中间结果表9-2后面几个时间步的速度剖面这里我们都是将,我们下面考虑取更大的时间步长会有什么影响？1)从稳定性的角度来看，克兰克-尼克尔森方法是无条件稳定的；2)时间步长的增加，会使得我们在离散化的时候产生更大的截断误差，降低瞬时结果的精度。我们下面看看运算过程是不是这样。表9-2后面几个时间步的速度剖面表9-3中给出了,无量纲化的时刻的速度剖面，稳态时刻。可以看出时间步长越长，我们计算的瞬态速度精度