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2.5.2圆与圆的位置关系

选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》

问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？

问题2：类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？

两圆的交点个数

圆心距与两半径的关系

两圆方程的公共解个数

外离

相交

内含

外切

内切

新知1：圆与圆位置关系的判定

圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含

图示

两圆交点个数0个1个2个1个0个

几何法：圆心距d与R±r的关系

代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负)

当Δ=0或Δr+1：0个

d=r－1：3个

圆上的点到直线距离为a(a<r)的点的个数：

考虑圆心到直线距离d与r±a的关系

直线与圆的方程的应用

选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》

实际运用

P93-例3.如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度.

把点P2(–2,y)代入圆的方程，得y=3.86(负值舍去)

解：如图建立平面直角坐标系，圆心在y轴上。设圆心的坐标是C(0，b)，圆的半径是r，

则圆的方程为x2+(y–b)2=r2

∴支柱A2P2的长度为3.86米.

用坐标法解决问题的“三步曲”

1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素(如:点、直线、圆)，将平面几何问题转化为代数问题.

2、通过代数运算，解决代数问题

3、把代数运算结果“翻译”成几何结论

代数

几何

几何

建系

坐标法

实际运用

P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。

著名匠师李春设计建造，为石拱桥，又称安济桥，坐落在河北省赵县的洨河上。经过无数次洪水冲击、风吹雨打、冰雪风霜的侵蚀和8次地震的考验，却安然无恙。

“券”小于半圆

“撞”空而不实

实际问题

抽象问题

建系

实际运用

P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。

实际问题

抽象问题

代数问题

析：圆心C在y轴上

建系

C

O

x

y

实际运用

P95-1.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程。

实际问题

抽象问题

代数问题

建系

C

O

思考：现有一辆观光船，宽12m，水面以上高5m，这艘船能否从桥下通过？

x

y

实际运用

P94-例4.一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处，如果轮船沿直线返岗，那么它是否会有触礁危险？

O

x

y

解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图的平面直角坐标系，取10km为单位长度，

则港口所在点为B(0,3)，轮船所

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