2023版高考数学一轮总复习第八章立体几何第四讲直线平面垂直的判定及性质课件文

第八章立体几何第四讲直线、平面垂直的判定及性质要点提炼

直线与平面平行的判定与性质考点11.直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的_______________直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

性质定理垂直于________平面的两条直线平行.

任何一条相交同一个l⊥αa∥b

直线与平面平行的判定与性质考点1规律总结

垂直关系中常用的6个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则这条直线与另一个平面也垂直.(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.(5)三垂线定理:平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(6)三垂线定理的逆定理:平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

平面与平面垂直的判定与性质考点21.平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是

角,就说这两个平面互相垂直.直二面

平面与平面垂直的判定与性质考点2

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_______则这两个平面垂直.性质定理两个平面垂直,则一个平面内___________的直线与另一个平面垂直.

2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理垂线l⊥α垂直于交线l⊥a理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥a.(

)(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(

)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)2.[教材改编]下列命题中不正确的是(

)A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ✕√✕✕A考向扫描

线面垂直的判定与性质考向11.典例[2019全国卷Ⅱ][文]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1.(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.

线面垂直的判定与性质考向1

线面垂直的判定与性质考向1方法技巧1.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.2.证明线线垂直的常用方法(1)利用线面垂直的性质证明线线垂直;(2)计算两条直线的夹角为90°或运用勾股定理的逆定理判断垂直.

线面垂直的判定与性质考向13.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.思维流程如下:

线面垂直的判定与性质考向1

线面垂直的判定与性质考向1

线面垂直的判定与性质考向1

面面垂直的判定与性质考向23.典例[2022陕西百校联考]如图,在四棱锥A-BCDE中,BC∥DE,BE⊥BC,AB=BC=AC=2DE=2BE=AD=2.(1)证明:平面BCDE⊥平面ABC.(2)经过A,D的平面α将四棱锥A-BCDE分成的左、右两部分的体积之比为1∶2,求平面α截四棱锥A-BCDE的截面面积.

面面垂直的判定与性质考向2

面面垂直的判定与性质考向2

面面垂直的判定与性质考向2方法技巧证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,进而把证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.

面面垂直的判定与性质考向24.变式[2018北京高考][文]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥BC.(Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD.(Ⅲ)求证:EF∥平面PCD.

面面垂直的判定与性质考向2解析

(Ⅰ)因为PA=PD,且E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(Ⅱ)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.(面面垂直的性质定理)所以AB⊥PD.(线面垂直的性质定理)又PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB,(线面垂直的判定定理)又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(面面垂直的判定定理)

面面垂直的判定与性质考向2

攻坚克难

转化思想在立体几何中的应用思想方法5.典例如图,在圆柱中,点O1,O2分别为上、下底面圆的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N,F),点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱的底面圆的半径为1.(1)若平面FNH⊥平面NHG,证明NG⊥FH;(2)若直线O1H∥平面FGE,求点H到平面FGE的距离.

转化思想在立体几何中的应用思想方法

解析

(1)因为平面FNH⊥平面NHG,平面FNH∩平面NHG=NH,NH⊥FH,FH⊂平面FNH,所以FH⊥平面NHG,(面面垂直转化为线面垂直)又NG⊂平面NHG,所以FH⊥NG.(线面垂直转化为线线垂直)（2）如图所示,连接O1O2,O2H,因为O1O2∥EF,O1O2⊄平面FGE,EF⊂平面FGE,所以O1O2∥平面FGE.(线线平行转化为线面平行)又O1H∥平面FGE,O1H∩O1O2=O1,所以平面O1HO2∥平面FGE,(线面平行转化为面面平行)

转化思想在立体几何中的应用思想方法

所以点H到平面FGE的距离等于点O2到平面FGE的距离.(根据面面平行的性质,实施“距离”转化)

转化思想在立体几何中的应用思想方法方法技巧转化思想常用来解决立体几何中的体积问题,线面平行、垂直问题,当体积不易直接求解时,可转换底面和高求解,线面位置关系问题常通过线线、线面、面面关系的相互转化求解.

转化思想在立体几何中的应用思想方法

转化思想在立体几何中的应用思想方法

立体几何中的探索性问题数学探索17.典例[2019北京高考][文]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC.(Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE.(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.

立体几何中的探索性问题数学探索1解析

(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD,所以AB⊥AE.又PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.又AE⊂平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.

立体几何中的探索性问题数学探索1

立体几何中的探索性问题数学探索1方法技巧1.求解立体几何中的探索性问题的策略条件追溯型解题策略一般是先假设结论成立,然后把该结论作为一个已知条件,再结合题目中的其他已知条件逆推(即从后往前推),一步一步推出所要求的条件.此时要注意推理的可逆性,不要默认为所有的条件都是充要条件.存在探索型解决这类问题的基本策略是:假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.

立体几何中的探索性问题数学探索12.求解立体几何中探索性问题的技巧涉及线段上点的位置的探索性问题,所求点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识找点,求解时注意三点共线条件的应用.

立体几何中的探索性问题数学探索1

立体几何中的探索性问题数学探索1解析

(1)连接AF,BF.易知△BCD≌△ACD,又F是CD的中点,所以AF=BF.在△ABF中,E是AB的中点,所以EF⊥AB.连接CE,DE.易知△CAB≌△DAB,又E是AB的中点,所以CE=DE.在△CDE中,F是CD的中点,所以EF⊥CD.

立体几何中的探索性问题数学探索1

立体几何中的翻折问题数学探索2将平面图形沿一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为立体几何中的翻折问题,翻折问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题.9.典例[2019全国卷Ⅲ][文]图（1）是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图（2）.(1)证明:图（1）中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求图（2）中的二面角B-CG-A的大小.（1）（2）

立体几何中的翻折问题数学探索2解析

(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,(位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变)所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,(与“折痕”垂直的线段,翻折前后垂直关系不变)又BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCGE,故AB⊥平面BCGE.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

立体几何中的翻折问题数学探索2

立体几何中的翻折问题数学探索2

方法技巧

翻折问题的解题策略策略:(1)画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图;(2)分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生