基于增广拉格朗日和影子模拟优化的结构优化设计

基于增广拉格朗日和影子模拟优化的结构优化设计

0优化方法分类结构优化设计在土木工程结构设计中起着最常见的作用。在20世纪40年代之前，人们主要使用图解法、数学探经性和方法论来研究简单结构的最小质量。20世纪50年代以后，随着数学建模和计算机技术的改进，自动优化设计技术在工程系统中得到了迅速发展和应用。计算机能在给定条件下得到最优设计方案,缩短设计周期,提高设计质量工程结构优化问题通常是在多重约束条件下使所设计结构的重量最轻或者费用最低,约束条件是指对结构的应力、位移、屈曲等力学响应量的限制。而在实际应用中,求解有约束优化问题是非常困难的,其原因是:①设计变量的数量多,②可行域的高度不规律,③约束条件的数量多。因此,人们不断寻求、探索既能在复杂设计区域中进行最优解的搜索,又可处理多重约束条件的优化方法。目前,工程上所用的优化方法大致可分为两类:一类是基于梯度的数值优化方法,另一类是基于自然现象的启发而发展的随机型优化方法。随着工程结构优化问题越来越复杂,采用基于梯度的数值优化方法进行求解后的优化结果的可信度也在逐渐减小,其原因是当求解优化问题遇到上文所提的三个问题时,数值优化方法得出的优化结果通常不是全局最优的,甚至可能是不可行的。而随机型优化方法在处理上文所提的三个问题时,能够弥补数值优化方法的缺点和不足,因此受到了高度关注。虽然目前已有较多的随机型优化方法且在结构优化设计领域被广泛应用,例如遗传算法本文基于子集模拟优化方法,结合拉格朗日乘子法,发展一种用于求解有约束优化问题的增广拉格朗日子集模拟优化方法,采用两个典型算例验证所发展方法的寻优能力、稳健性以及计算效率,并与其他优化设计方法进行对比。1基于蒙特卡罗策略的模型求解子集模拟(SubsetSimulation)是一种高效的蒙特卡罗策略,最初被用于求解高维小失效概率结构可靠性问题考虑如下无约束全局优化问题:式中:h(x)为目标函数;x∈S为设计变量集合;S为问题定义域。为了在可靠性问题的框架内研究优化问题,人为地令设计变量x为随机变量并且指定(用户定义)概率分布类型,因此所得到的目标函数也是随机变量,并且具有其自身的概率密度函数与累积分布函数。上述将确定性的变量“拓展”为随机变量的概念是利用蒙特卡罗策略解决复杂问题的一种计算方法。设定h式中:失效事件F=[h(x)≥h显然,失效概率等于0,因为h子集模拟方法的思想为:在式(2)中,P[h(x)≥h式中:F根据乘法定理有:在子集模拟优化中,改进的Metropolis–Hasting(MMH)算法子集模拟优化方法的运行过程如下:(1)选择输入变量的分布参数。在确定性优化算法中,每一个输入设计变量都是确定性参数,但是在子集模拟优化算法中,输入设计变量是随机的,并且有一个假设的概率密度函数(PDF)f(2)根据假设的分布类型,利用直接蒙特卡罗方法生成N个独立同分布的样本{x(3)MMH算法用于生成中间事件中的条件样本。在第k层迭代中,从F(4)重复上述步骤直到满足收敛条件或者达到最大可负担计算量。(5)关于无约束子集模拟优化方法的描述和讨论,详见参考文献[8]。2拉格朗日记收集的模拟优化方法2.1增广拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法将约束条件加入目标函数中,形成拉格朗日函数:式中:λ类似于罚函数方法,式(5)将有约束优化问题转变为无约束优化问题。拉格朗日函数可以作为无约束目标函数使用,原因是有约束优化问题的最优解同样适用于该无约束优化问题。但因为该解不一定是拉格朗日函数的最优解,所以为了保证该解的可行性与最优性,在增广拉格朗日函数中加入一个增广函数θ式中:h(x)为第i个样本的目标函数值;e增广拉格朗日乘子法不同于标准的拉格朗日乘子法,因为多了罚函数一项;其也不同于标准的罚函数法,因为多项式里包括了拉格朗日乘子。在增广拉格朗日函数里,每个约束的可行性将使用一个单独的罚函数因子r在迭代过程中,通过增大罚函数因子来阻止结果向不可行性方向发展,当约束值低于约束违反限定值ε式中:ψψ式中:e罚函数因子的下限值为2.2增广拉格朗期模拟方法的流程增广拉格朗日子集模拟优化方法由两部分组成:外部循环用来构成增广拉格朗日函数,更新拉格朗日乘子和罚函数因子,并且检验优化过程是否收敛;在内部循环中,子集模拟优化算法求解无约束全局最优问题,即拉格朗日乘子和罚函数因子在内部循环中均保持固定值。增广拉格朗日子集模拟优化方法的流程图如图2所示。内部循环中所使用的子集模拟优化方法在解决高维设计变量优化问题上具有优势,而本文发展的增广拉格朗日约束处理方法能够很好地处理多约束条件。增广拉格朗日子集模拟优化方法在处理多设计变量、多约束、复杂可行域的优化问题上表现出非常优秀的性能,将在第3节中通过多设计变量、多约束算例对此进行验证。2.3下限值最优解x罚函数因子的初始值假设为一个单位矩阵,即r本文采用如下更新公式:式中:φ与原始更新方法不同,改进后的更新方法只有在前一层迭代没有使得优化结果变好的情况下才会增加罚函数因子的值,当最优解x为了保证拉格朗日乘子更新的有效性,为所有罚函数因子值设定一个下限值:在最初的迭代过程中,由于罚函数因子太小而不能得到有效的最优解,该下限值具有重要作用。2.4初收敛准则收敛准则是对于外部循环而言的,经过增广拉格朗日方法处理过的优化问题的最初收敛准则为:如果λ式中:ρ(xρ(x拉格朗日子集模拟优化方法在大多数情况下能够给出很好的优化结果,但在某些情况下,如果程序运行到最大迭代次数后仍未满足收敛准则,则最后一次迭代的最优解也可被看作是该优化问题的近似解。3优化算法对比将增广拉格朗日子集模拟优化方法用于求解桁架结构优化设计和机翼翼盒结构优化问题,并与其他著名优化算法进行对比。桁架结构优化问题计算单层所用样本数为100、200和500,机翼翼盒结构优化问题单层所用样本数为100。所用条件概率p均为0.1。内部循环的子集模拟优化最大迭代次数选择为20,外部循环的最大迭代次数选择为50。子集模拟优化以及所有的约束容限都设定为ε=103.17增广拉格朗瑰模拟优化方法的寻优性能72杆空间桁架结构如图3所示,桁架杆件材料的弹性模量为10000ksi,材料密度为0.1lb/in72杆空间桁架结构的72根杆件被分为16组,分别为:①A72杆空间桁架结构优化问题已被遗传算法(GA)、蚁群优化算法(ACO)从表2可以看出:遗传算法、和声搜索算法、增广拉格朗日粒子群优化算法的优化结果均违反了位移约束条件,同时,和声搜索算法还违反了最大应力约束条件,故采用上述三种优化算法求解所得的最优解均为不可行解;在所有具有可行解的优化结果中,增广拉格朗日子集模拟优化方法的最终优化结果(379.59lb)优于蚁群优化算法的最终优化结果(380.24lb)和粒子群优化算法的最终优化结果(381.91lb),表明增广拉格朗日子集模拟优化方法具有很好的寻优准确性。随着优化迭代次数的增加,结构重量的优化过程如图4所示,优化过程所用单层样本数为500。从图4可以看出:在72杆空间桁架结构优化问题中,增广拉格朗日子集模拟优化方法在第17次迭代时便已收敛,得出的最优重量值为379.59lb,表明增广拉格朗日子集模拟优化方法的计算效率高、收敛快。在72杆空间桁架结构优化问题中,增广拉格朗日子集模拟优化方法的统计学性能如表3所示,表中变异系数(COV)一列用来反映优化方法的稳健性。所有结果都是在30次独立运算后取得,所用单层样本数量分别为100、200和500。从表3可以看出:三种样本量的变异系数值均很小,表明增广拉格朗日子集模拟优化方法具有很好的稳健性。3.2动态载荷优化机翼翼盒结构如图5所示,该结构关于x-y平面(结构中心面)对称。选取机翼翼盒结构的上半部分作结构说明,在该结构的优化问题中,对于杆件单元,取杆件的横截面积为设计变量,横截面积的下限为0.1in在Abaqus中通过参数化建模建立机翼翼盒结构的有限元模型。受拉板和受剪板采用S4R壳单元建立,桁架采用T3D2杆单元建立。整个模型结构通过共节点装配得到,边界条件设定为左边界四节点铰支。载荷工况设定为:在分析步1中设定模型结构受工况1中载荷作用,并在分析步2中取消工况1中的载荷作用;在分析步2中设定模型结构受工况2中的载荷作用。为了保证结构在两种工况下均达到最优设计,分别取分析步1与分析步2中的应力与位移分析结果,并设定两个分析步所得结果的最大值作为该优化问题的应力与位移约束结果。利用增广拉格朗日子集模拟优化方法对该机翼翼盒结构进行优化设计,并与其他优化方法相比较,优化结果如表4所示,表中包括最优设计变量值和最小重量。ACCESS1优化方法从表4可以看出:增广拉格朗日子集模拟优化方法得出的最优设计明显优于其他方法所得的最优设计,表明增广拉格朗日子集模拟优化方法具有优秀的寻优能力。机翼翼盒结构优化设计迭代过程如图6所示,所用单层样本数为100。从图6可以看出:在第15次循时该翼盒结构优化过程达到收敛,表明增广