拉格朗日乘子法求解高斯逮流方程

拉格朗日乘子法求解高斯逮流方程

求解高斯中拉格朗日乘子法多体系统动态应用于航空航天、机械、武器、车辆等领域，为多体系统的运动性能和优化设计提供了强有力的理论支持。多体系统动态的研究包括系统动态模型的构建和模型解的速度、稳定性和精度。李鹏和姚文丽。目前,论文中常用的求解高斯拘束函数的拉格朗日乘子法,需引入h个拉格朗日乘子λ通过简单的变形运算,将求高斯拘束函数最小值问题变形为最小二乘问题.根据系统的真实加速度满足约束方程且使拘束函数取极小值,运用最小二乘法导出系统真实加速度的表达式,对系统的真实加速度进行积分运算便可得到系统的真实运动规律.最后运用推导出的系统真实加速度的显示表达式,对曲柄滑块机构进行动力学分析及计算,得到其运动规律,验证该求解方法的有效性.1高斯最小束缚函数高斯最小拘束函数以加速度为变量,在任意时刻t,系统的真实运动与符合系统约束的所有可能发生的运动相比较,系统的真实加速度使其拘束函数取极小值.高斯最小拘束函数G的表达式为式(1)中广义质量矩阵M为n×n阶的实对称矩阵,式(2)为高斯最小拘束函数的另一种表达形式.式(1)和(2)考虑了系统所受理想约束的条件.当Q2束方程的完整问题运用高斯最小拘束原理求解多体系统的运动规律,其系统的约束方程可以是完整的也可以是非完整的.设系统受到d个完整约束、g个非完整约束,其形式可写为将式(4)对时间求两次微分和式(5)对时间求一次微分,所得结果可写为矩阵形式3引入伪逆矩阵高斯最小拘束函数的加速度¨q取值需满足式(6)且使式(2)或(3)取极小值.式(6)中的ue57fq(t),q(t)在任意时刻均为确定的量,引入伪逆矩阵J其中,h为任意n维列向量,I为n阶单位矩阵,令将式(8)代入式(2)或(3)得到关于变量h的最小二乘问题其中求拘束函数式(9)的最小值其中A、b在任意时刻为确定的量.利用伪逆方法可解得其中w为任意n维列向量.将式(13)代入式(8)得到满足式(6),(9)的真实加速度表达式为为消去式(14)中未知向量w,对式(10)求逆得到将式(15)代入式(14)整理得4曲柄滑块机构的约束方程以曲柄滑块机构为例,如图(1)所示.图中o曲柄滑块机构的广义质量矩阵M,广义力向量Q分别为系统的约束方程为约束方程的雅可比矩阵J及设系统的初始条件分别为将式(17)、(18)、(19)、(20)代入式(3),得到曲柄滑块机构的拘束函数表达式.引入约束方程φ,通过式(16)求解得出曲柄滑块机构的位移和速度变化规律图.图1~5分别为曲柄质心在X,Y方向上的位移、速度变化曲线.图6~7为曲柄转角与曲柄转动角速度的变化曲线.图8~9为滑块质心在X方向的位移、速度变化曲线.曲柄滑块机构中存在阻尼为耗散机构,滑块的运动幅度和速度会随时间逐渐减小,机构最终在一平衡状态停止运动.5多体系统动力学的仿真与分析高斯最小拘束原理不直接描述系统的机械运动规律,而是把真实发生的运动与可能发生的运动加以比较,在相同条件下所发生的很多的可能运动中指出真实运动所应满足的极值条件,用高斯最小拘束原理求解多体系统动力学问题,主要优点是可以利用各种有效的数学规划方法寻求高斯拘束函数的极值,且不论是树形的还是非树形的系统,都可以用同样的方法处理.文章利用最小二乘法对高斯拘束函数进行求解,直接得到了系统真实运动的加速度表达式,且不需要引入其它辅助变量.从曲柄滑块机构的仿真结果可以看出,系统的数学模型推导简单,形式统一,而且能够得到多体系统运动规律的精确解,计算效率高,方法简单,易于程式化.本文提