偶应力理论的改进

偶应力理论的改进

经典连续介质理论无网格法较小的颗粒的力学能具有明显的规模效应，这是经典连续介质理论的无法解释。无网格法对应变梯度理论的无网格法进行研究与实施。以偶应力理论为例,基于一类变量位移伽辽金法,将控制域上的应变光滑法1偶应力理论简介设求解域为Ψ,其边界Γ由位移边界Γ式中,重复下标遵循爱因斯坦求和约定,逗号后紧跟的下标表示物理量对下标求偏导。σ偶应力理论中,假设微观转动θ在这一约束条件下,应变ε而旋转梯度χ式中,e偶应力理论中,应变能密度w是应变与旋转梯度的函数。对线弹性各向同性材料,应变能密度为本构关系为其中,μ和λ是通常的拉梅常数;l是与材料微结构相关的特征长度,这使得偶应力理论具备描述尺度效应的能力。当l=0时,旋转梯度对应变能没有贡献,偶应力理论即退化为经典理论。2基于该控制区域的自然相邻加辽金法2.1弹性模型的建立偶应力理论位移伽辽金法积分弱形式可用如下矩阵形式表示式中,ε为应变矩阵,χ为旋转梯度矩阵,u为位移矩阵,θ为微转动矩阵,D式中,u其中,E与ν为材料常数,它们与弹性模型E、泊松比ν的关系为弱形式中ε、χ、u及θ的关系可以表示为其中,L式中,2.2基于控制域的数值积分方法由于旋转梯度χ用位移u的二阶梯度表示,弱形式中第二项被积函数的微分阶次是2。为保证该积分可积,位移场应至少具有一阶连续性。构造这类近似函数通常比较复杂,易引起计算规模的增大。在不使用约束变分原理的情况下,为了降低这一连续性要求,可设法将旋转梯度用位移的一阶梯度表示,从而降低被积函数的微分阶次设整体域其中,x表示任意点,φ(x)为权函数式中,A其中,算子矩阵▽由式(15)给出,仅含有一阶偏导运算,N式中,n使用式(18)定义的常旋转梯度,取控制域T为积分子域。由使用类似的方法,通过在控制域内定义常应变场,弱形式中第一项积分可由下式计算其中,N式(20)及式(21)右端被积函数中的最高微分阶次分别为1和0,因此使用零阶连续的位移场就可以满足积分要求。2.3使用nano-sibsonian插值Non-Sibsonian插值式中,这种近似方案具有插值特性,易于实现本质边界条件、形函数计算简单且不涉及任何人为参数。然而non-Sibsonian插值只具有线性完备性,用于高阶偏微分方程时逼近能力显得不足。注意到形函数具有单位分解特性式中,V(x)为整体近似函数,V为满足偶应力理论对试探函数完备性的要求,可以用多项式基{1,x,y}构造局部近似。以二维问题为例,位移场的non-Sibsonian单位分解近似可以表示为其中,φ容易证明该位移场具有零阶连续性、二阶完备性中的分量a2.4离散形式式将式(20)、式(21)及式(25)代入式(7),可以得到弱形式的离散形式式中,其中,K设N为域内及边界上的结点总数,则整体刚度矩阵是6N×6N阶对称方阵,其计算过程与传统自然邻近伽辽金法3计算3.1材料模型的建立如图2a所示为带孔无限大板受双轴载荷示意图,其中p与q分别表示竖直与水平载荷。在这个例子中将对单轴拉伸(p=0,q≠0)与纯剪切(p=-q)的情况进行考察。两种情况下应力及应力集中因子的解析解见文献由问题的对称性,仅取四分之一作为计算模型,几何尺寸与边界条件如图2b所示,其中板的长与宽均为L,小孔半径为r。在计算模型左端和下端边界上施加对称边界条件,并约束相应的微观转动(通过增强自由度施加)。外力分量T单轴拉伸在右边界上T在上边界上T纯剪切在右边界上T在上边界上T计算时取L=7.5、r=0.5,由于Lr=15,该板可以近似看作无限大。按平面应力问题计算,取材料常数E=1.0及ν=0.3。离散模型如图3所示,包含有259个非均匀布置的结点。图4所示为单轴拉伸时材料特征长度分别取l=0.0与l=0.5情况下正应力的对比结果。由图可见,当l=0.0时,数值解与经典理论解析解吻合良好;当l=0.5时,小孔附近的正应力σ3.2界面对称模型如图5a所示为双材料板块受无穷远处剪力作用时的示意图,经典理论预测在界面上剪应变有一个突变,是不连续的。而高阶理论可以解释双材料界面的边界层效应(在材料界面邻近的边界层上剪应变连续变化),Fleck等学者其中,γ=2ε该问题的计算模型如图5b所示,模型关于材料界面对称,其高度h远大于长度w来近似模拟载荷作用在无穷远处。取高度为L的区域作为研究域来观察边界层的情况。为消除刚体位移,约束模型左下端A处x、y方向的位移(u在左边界AD上在右边界上在下边界AB上在上边界DC上计算时取通过在材料界面上布置同时属于两种材料的公共结点,并保证任意积分点只受本材料内结点和界面公共结点的影响,本文构造的方法可以很容易地处理材料不连续问题。计算时使用的离散模型包含有280个结点,其中4×31个结点均匀布置在研究域内,其余156个非均匀结点布置在模型的剩余部分。计算所得沿线段mn的规格化剪应变数值解与其解析解(用实线表示)的对比情况如图6所示。由图可见,当不计材料特征长度时,数值解与经典理论解析解吻合良好,在材料界面处,剪应变是不连续的,由材料1中的σ4偶应力理论无网格法以偶应力理论位移伽辽金法全局积分弱形式为基础,利用控制域上常旋转梯度的边界积分表达形式,降低被积函数的微分阶次,在不引入拉氏乘子或罚函数的情况下,放松对位移场试探函数连续性的要求,建立适用零阶连续近似方案的偶应力理论无网格法。Non-Sibsonian单位分解近似的使用,一方面提高近似函数的逼近能力,另一方面给边界条件的引入提供方便。组集整体刚度矩阵时完全不涉及区域积分,避免实施区域积分时引入的数值误差,提高计算精度。算例表明,该数