抛物型方程的差分方法课件

非线性动力学数值方法第二章抛物型方程的差分方法2.1定解问题的离散非线性动力学数值方法第二章抛物型方程的差分方法2.1定2.1定解问题的离散

一维热传导方程为：或对这样一个问题的求解，分为以下三个步骤来离散。（1）2.1定解问题的离散一维热传导方程为：（1）在x-t平面上，取和分别为函数的自变量x和t的改变量，由（

j=0,1,…N,h=,n=0,1,…M,

）两组平行线构成的矩形网格覆盖x-t平面。h为空间步长，为时间步长。txnj（j-1,n）（j,n）（j+1,n）（j,n+1）（j,n-1）2.1.1定解区域的离散X方向节点编号T方向节点编号在x-t平面上，取和

定义：网格节点上的值：

半网格节点上的值：

网格节点上的函数值简记为u(j,n)

。定义：

在有限差分离散化时应该注意以下几点：根据问题求解的需要，在x，t方向上离散网格时和可以是等分，也可以是不等分，既可以按一定规律来离散，也可以对网格进行局部加密。！！！！对于双曲型和抛物型等发展方程在有限差分离散化时，网格的和不能随意选取，需要满足一定的条件，如稳定性的CFL条件等。！！！！为了保证边界上的计算精度，在网格边界外可设置若干虚拟网络，以保证差分格式在边界处的计算精度和内点精度保持一致。！！！！有限差分离散网格一般选取四边形网格，对于复杂物体外形问题，也可以选择三角形网格或其他形状网格。近年来，发展了一种无结构网格和无网格的有限差分算法，它们的计算网格就更为复杂。在有限差分离散化时应该注意以下几点：对于复杂外形飞行器流场的计算，一般需要通过坐标变换，可以把物理平面上的复杂的、非正交的网格转换成在计算平面上的简单、而正交的网格，这就是网格生成技术。特别要指出的是，网格生成技术在网格设计和编程中往往占有很大的工作量，网格生成技术好坏直接影响到数值计算结果的精度，网格生成技术已成为计算流体力学中的一个重要分支。对于复杂外形飞行器流场的计算，一般需要通过坐标变换，可以把物节点(j,n+1)的函数值在(j,n)点作泰勒展开：2.1.2控制方程的离散（2）（3）同理，对于节点(j,n-1)有：节点(j,n+1)的函数值在(j,n)点作泰勒展开：2.

由（2）得：

其中表示一次和一次以上的小量项．（4）（5）（6）（4）－（5）得：由（3）得：

（7）同理：（7）同理：下面引入几个概念：（1）向前差分（forwarddifference）

（2）向后差分(backwarddifference)

(forwardspacedifference)(forwardtimedifference)(backwardspacedifference)(backwardtimedifference)下面引入几个概念：(forwardspacediffe（3）一阶中心差分（centraldifference）（４）二阶中心差分（centraldifference）（3）一阶中心差分（centraldifference）（1）格式I显示格式

(FTCS格式)由（4）、（7）代入（1），有

式中：

称为截断误差（Truncationerror），它不仅反映了差分算子对微分算子的逼近，也反映了差分解和方程解的误差。截断误差的阶数：就是截断误差中最低阶导数项中或h的幂次数。（此截断误差，时间1阶，空间2阶）！！！！（8）1）格式I显示格式(FTCS格式)（8）用表示u(j,n）的近似值；用差商近似代替式（1）中的微商后，可得相应的差分方程（通过泰勒展开法最后推出的）

(9)记号：表示微分方程的解在结点处的准确值；表示差分方程的解，它是的近似值；表示微分方程左端项在结点处的准确值；表示用准确值构造差商；表示用近似值构造差商；表示差商近似微商所产生的截断误差。用表示u(j,n）的近似值；用差商近似代替式

注意：由（10）可知，当第n层u已知时，可以直接求出第n+1层上的值，故称之为显式格式。n+1nj-1j+1j（10）令，则(9)式可化为：差分格式注意：由（10）可知，当第n层u已知时，可以直接求出第n+2）格式Ⅱ（BTCS）隐式格式对时间向后差分，对空间用中心差分，得：注意：由（12）式不能直接计算出解，而要联立求解代数方程，故称之为隐式格式。nn-1j-1j+1j（１２）2）格式Ⅱ（BTCS）隐式格式注意：由（12）式不能直接计算3）格式ⅢCrank—NicoLson格式（CTCS）对时间和空间都用中心差分，在点对u作泰勒展开，得：(13)(14)3）格式ⅢCrank—NicoLson格式（CTCS）下面来求。在对点作泰勒展开：

上两式相加，

(15)(16)(17)(18)下面来求。在而：（19）（20）由（15）式和（18）式得（21）或：（22）

n+1nj-1j+1j而：n+1nj-1j+1j注意：泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。

——全二阶精度。在点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。隐式格式。

idea：是将微分方程中的项以在第n层和第n+1层上关于x的二阶中心差商的算术平均值来逼近，这一思想已被广泛地应用于一般微分方程，以建立其差分格式。注意：注意：

——全二阶精度格式。三层显示格式。n+1nj-1j+1jn-14）格式（IV）（CTCS）（Richardson格式）对时间中心差分步长放大一倍，空间也中心差分。(23)(24)注意：n+1nj-1j+1jn-11）推广Crank—Nicolson（格式III）格式III将差分格式建立在和的中点基础上的。现进一步推广，将差分格式建立在和中间任意一点上，即，其中是一参数。按照格式III同样的方法进行差分。抛物型方程的差分方法ppt课件上两式相减得同样，也可对作类似格式III的处理。最后（25）（26）上两式相减得注意：此格式利用了在第n层和第n+1层关于的二阶中心差商的加权平均值，故称之为加权六点格式。当=0时，该格式变为格式I;=1时，该格式变为格式II;

时，该格式变为格式III;截断误差，当时为；当时，为，故精度与有关。2)修正Richardson格式(Dufort-Frankel格式)Richardson格式：注意：而Dufort,Frankel给出的格式为：（27）实际上是将换为

(由(2),(3)式相加可得)经过这样的修改可将完全不稳定的Richardson格式变成无条件稳定格式。注意：截断误差：要求时速度比的速度快，才能保证该格式步长趋向于零时，逼近热传导方程，否则为常数时，该格式逼近双曲型方程。而Dufort,Frankel给出的格式为：格式名称格式表达式截断误差显式格式（格式I）隐式格式（格式II）Crank－Nicolson格式（隐式格式）小结：模型方程的若干典型差分格式Richardson格式（显式格式）组合格式六点加权格式（显、隐与有关）当时为当时为Dufort-Frankel格式复杂格式名称格式表达式截断误差显式格式（格式I）隐式格式（格式I(2)直接差分逼近法利用中值定理，可得到：2.1.3差分格式构造方法众所周知，微商定义是：

(1)Taylor展开法(2)直接差分逼近法利用中值定理，可得到：2.1.3差分

其中为之间的常数。把这些表达式带入微分方程后，在一阶近似条件下略去小量，得到相应的差分方程。例如，采用上述方法可得到：

其中为之间略去后，得到差分格式：

采用相同的直接差分逼近法，我们也可得到其他差分格式，例如：

略去后，得到差分格式：采用相同的直接差分逼近法控制体积法不是从连续的微分方程出发，而是从物理量守恒规律出发建立离散的差分方程。考虑一维平面流动问题，设流体以速度沿轴正方向流动。流体中某一物理量，例如某物质浓度，应满足守恒定律。在空间位置附近画出一个控制体积单元，如果控制体积内无源项，且不考虑扩散作用，在内所含物质总量M应满足守恒定律，即：在控制体积中物质总增量=由流进内物质M的净通量。把物质浓度近似看作是控制体积内点j上的平均值，在时间内控制体积内总增量为：(3)控制体积法控制体积法不是从连续的微分方程出发，而是从物理量守恒规律出发从左界面流入控制体积内物质的平均通量速率为：在时间内通过左边界面流入控制体积内总通量为：同理，在时间内通过右边界面流出控制体积总通量是：流进控制体积物质M净通量为流入通量与流出通量差：由守恒定律得到：从左界面流入控制体积内物质的平均通量速率为：在界面上函数值可以取相邻两个节点值的算术平均值，即：把它代入守恒方程，整理后得到若用标记，则可以得到差分方程：

在界面上函数值可以取相邻两个节点值的算术平均值，即：在上述推导中如果我们在界面上函数值C采用不同的近似方式，则可得到不同的差分方程。一般而言，可取：其中。当时为中心差分方程，当时为前差方程，当时为后差方程。用控制体积法构造差分方程总是守恒型差分方程。或

在上述推导中如果我们在界面上函数值C采用不同的近似方式，则可考虑对流方程，在矩形网格中控制体积内，对时间和空间都取前差，即对流方程从到，从到进行积分：通过积分运算：

则得到：

采用积分方法构造差分方程基本思想是把微分方程在一定的控制体积内进行积分得到相应的差分方程。(4)积分方法通过积分运算：则得到：采用积分方法构造差分方程基本思想是

整理后得到：这就是对流方程FTFS差分方程。如果采用不同的积分方式，就形成不同的差分方程。但是，如果积分区域不是矩形，则采用积分方法构造差分方程就不会这么简单，但基本原理是一样的。把上述方程用数值积分近似表达式来表示，即得到：把上述方程用数值积分近似表达式来表示，即得到：除上述介绍的构造差分方程的方法外，还有其他构造差分方程的方法，这里不再一一介绍。综上所述，可以看出，对于同一个微分方程可以构造出多种多样的差分方程，而且，即使采用同一种方法也可以得到不同差分方程，不同的方法也可以导出同样的差分方程，这反映了构造差分格式的灵活性和多样性。除上述介绍的构造差分方程的方法外，还有其他构造差分方程的初始条件：

第一边界条件：

第二边界条件：

第三边界条件：2.1.4初边界条件的离散2.1.4初边界条件的离散下面仅考虑第三类边界条件的离散。对初条件，可取：对边条件，有三种