杆梁结构的有限元分析原理

杆梁结构的有限元分析原理第1页，课件共92页，创作于2023年2月杆梁单元概述讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件承受轴力或扭矩的杆件称为杆杆梁问题都有精确解承受横向力和弯矩的杆件称为梁平面桁架平面刚架连续梁空间刚架空间桁架等变截面杆和弯曲杆件第2页，课件共92页，创作于2023年2月本章主要内容4.1有限元分析的完整过程4.2有限元分析的基本步骤及表达式4.3杆单元及其坐标变换4.4梁单元及其坐标变换第3页，课件共92页，创作于2023年2月4.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。第4页，课件共92页，创作于2023年2月问题的解题思路：1）用标准化的分段小单元来逼近原结构2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：节点位移内部各点位移应变应力(1)(3)(2)第5页，课件共92页，创作于2023年2月完整的求解过程1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出节点编号和单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=3第6页，课件共92页，创作于2023年2月2）单元分析单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1，u(1)=u2

从而得：第7页，课件共92页，创作于2023年2月回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。形函数矩阵第8页，课件共92页，创作于2023年2月根据几何方程可得应变的表达写成矩阵形式为简记为几何函数矩阵或者是应变转换矩阵第9页，课件共92页，创作于2023年2月根据物理方程可得应力的表达写成矩阵形式为简记为应力矩阵或者是应力转换矩阵第10页，课件共92页，创作于2023年2月势能的表达第11页，课件共92页，创作于2023年2月写成矩阵形式为刚度矩阵节点力列阵第12页，课件共92页，创作于2023年2月3）离散单元的装配

在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分第13页，课件共92页，创作于2023年2月4）边界条件的处理

处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式第14页，课件共92页，创作于2023年2月5）建立刚度方程

由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有第15页，课件共92页，创作于2023年2月6）求解节点位移

将结构参数和外载荷代入上式有求解得（单位m）第16页，课件共92页，创作于2023年2月7）计算单元应变第17页，课件共92页，创作于2023年2月8）计算单元应力第18页，课件共92页，创作于2023年2月9）计算支反力

对于单元势能的表达，对其取极值有具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。第19页，课件共92页，创作于2023年2月以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元所受的节点力。第20页，课件共92页，创作于2023年2月讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整体刚度矩阵。其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。第21页，课件共92页，创作于2023年2月4.2有限元分析的基本步骤及表达式1、物体几何区域的离散化2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达3、装配集成4、边界条件的处理并求解节点位移5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算第22页，课件共92页，创作于2023年2月4.2有限元分析的基本步骤及表达式第23页，课件共92页，创作于2023年2月4.3杆单元及其坐标变换局部坐标系中的单元描述5.25m3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N第24页，课件共92页，创作于2023年2月变截面杆单元的推导单元的位移模式形状函数矩阵单元的几何矩阵第25页，课件共92页，创作于2023年2月变截面杆单元的推导单元刚度矩阵为第26页，课件共92页，创作于2023年2月4.3杆单元及其坐标变换局部坐标系中的单元描述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm第27页，课件共92页，创作于2023年2月第28页，课件共92页，创作于2023年2月第29页，课件共92页，创作于2023年2月第30页，课件共92页，创作于2023年2月第31页，课件共92页，创作于2023年2月第32页，课件共92页，创作于2023年2月第33页，课件共92页，创作于2023年2月第34页，课件共92页，创作于2023年2月4.3杆单元及其坐标变换-局部坐标由于杆单元只有两个节点位移，故可以设杆单元的位移模式为之包含两个待定常数的形式

u(x)=a1+a2x根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。第35页，课件共92页，创作于2023年2月回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。根据位移条件有u(0)=u0，u(l)=ul，从而得第36页，课件共92页，创作于2023年2月根据几何方程得根据物理方程得从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组，进行结果分析第37页，课件共92页，创作于2023年2月4.3.2杆单元的坐标变换第38页，课件共92页，创作于2023年2月

规定：杆端位移和杆端力取在截面形心上，符号以与单元系坐标正向相同为正，相反为负。下面讨论整体坐标系下与局部坐标系下的转换关系式。整体坐标系单元杆端位移和杆端力仍定义在截面形心上，符号以与坐标正向同向为正反之为负。局部坐标系整体坐标系4.3.2杆单元的坐标变换-平面问题第39页，课件共92页，创作于2023年2月其中是一个单位正交矩阵，单位正交矩阵的逆即等于其转置。

从上图可以得出，整体坐标系逆针旋转α角后与单元系相重合。写成矩阵形式为

第40页，课件共92页，创作于2023年2月第41页，课件共92页，创作于2023年2月由于单元的势能是一个标量(能量)，不会因坐标系的不同而改变，因此，可将节点位移的坐标变换关系代入原来基于局部坐标系的势能表达式中，整体坐标系下的刚度方程第42页，课件共92页，创作于2023年2月根据得其中单刚的性质：是对称矩阵。是奇异矩阵。坐标变换并不改变矩阵的奇异性质。

第43页，课件共92页，创作于2023年2月第44页，课件共92页，创作于2023年2月1结构的离散化与编号第45页，课件共92页，创作于2023年2月2各个单元的矩阵描述结构包括有斜杆，所以必须在总体坐标下对节点位移进行表达，所推导的单元刚度矩阵也要进行变换第46页，课件共92页，创作于2023年2月3建立整体刚度方程1.将所得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵;2.同时将所有节点载荷也进行组装。

第47页，课件共92页，创作于2023年2月4边界条件的处理及刚度方程求解第48页，课件共92页，创作于2023年2月第49页，课件共92页，创作于2023年2月5各单元应力的计算第50页，课件共92页，创作于2023年2月6支反力的计算将节点位移的结果代入整体刚度方程中第51页，课件共92页，创作于2023年2月基于MATLAB平台求解该（1）结构的离散化与编号（2）计算各单元的刚度矩阵1.建立一个工作目录，将所编制的用于平面桁架单元分析的四个MATLAB函数（1.单元刚度；2.总刚矩阵的组装；3.单元应力的求解；4.支反力的求解）2.在MATLAB环境中，输入弹性模量E、横截面积A，各点坐标、角度3.调用四次单元刚度矩阵计算函数，得到各个单元的刚度矩阵第52页，课件共92页，创作于2023年2月单元的刚度矩阵的计算functionk=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)%该函数计算单元的刚度矩阵%输入弹性模量E，横截面积A%输入第一个节点坐标（x1,y1），第二个节点坐标（x2,y2），角度alpha（单位是度）%输出单元刚度矩阵k(4X4)。%-------------------------------------------------L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));x=alpha*pi/180;C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*[C*CC*S-C*C-C*S;C*SS*S-C*S-S*S;-C*C-C*SC*CC*S;-C*S-S*SC*SS*S];第53页，课件共92页，创作于2023年2月总刚度矩阵的组装functionz=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)%该函数进行单元刚度矩阵的组装%输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j%输出整体刚度矩阵KK%--------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;forn1=1:4forn2=1:4KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;第54页，课件共92页，创作于2023年2月（3）建立整体刚度方程（4）边界条件的处理及刚度方程求解（高斯消去法）（5）支反力的计算（6）各单元的应力计算基于MATLAB平台求解该第55页，课件共92页，创作于2023年2月基于ANSYS求解该1.前处理2.求解器的设定3.后处理第56页，课件共92页，创作于2023年2月对于单元2：取i=1，j=2，则，故

对于单元1：取i=3，j=1，则c=1，s=0，故

对于单元3：取i=2，j=3，则c=0，s=1，故

平面杆单元应用2第57页，课件共92页，创作于2023年2月整体编号，对号入座得总刚第58页，课件共92页，创作于2023年2月第59页，课件共92页，创作于2023年2月杆单元的坐标变换-空间第60页，课件共92页，创作于2023年2月整体和局部的坐标转换关系与平面问题一致。第61页，课件共92页，创作于2023年2月ANSYS应用实例2第62页，课件共92页，创作于2023年2月4.4梁单元及其坐标变换一般平面梁单元的描述第63页，课件共92页，创作于2023年2月纯弯梁单元第64页，课件共92页，创作于2023年2月由于单元有四个位移分量，可设梁单元的位移模式v(x)为包含4个待定常数的三次多项式：由材料力学知,各截面的转角:第65页，课件共92页，创作于2023年2月根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。式中第66页，课件共92页，创作于2023年2月单元的应力应变

在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。轴向应变为弯曲应变为

y为梁单元任意截面上任意点至中性轴(x轴)的距离。得出平面刚架单元应变图3-5弯曲应变计算示意图

则——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。第67页，课件共92页，创作于2023年2月根据梁的平面假定可知梁单元的轴向应变为：这里利用平面假设（变形后横截面仍保持平面，与纵线正交）如图：第68页，课件共92页，创作于2023年2月第69页，课件共92页，创作于2023年2月从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力：第70页，课件共92页，创作于2023年2月第71页，课件共92页，创作于2023年2月由虚功原理可以推得

第72页，课件共92页，创作于2023年2月组装总刚仍用后处理法，“对号入座，子块搬家”的方法。如：对于单元1，我们取i=1，j=2。故

第73页，课件共92页，创作于2023年2月对于单元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照“整体编号，对号入座”的原则，得总刚为第74页，课件共92页，创作于2023年2月对于此，列出总刚度方程为第75页，课件共92页，创作于2023年2月考虑到边界条件，修正后的刚度方程为解之得第76页，课件共92页，创作于2023年2月4.5平面刚架的有限元法小变形情况下，可以把平面刚架单元看成是发生轴向位移的杆单元和发生挠度和转角的梁单元的组合。将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合可得到平面梁单元刚度矩阵。第77页，课件共92页，创作于2023年2月4.5平面刚架的有限元法单元位移模式（1）平面桁架的单元位移模式（2）平面梁的单元位移模式其中：综合平面桁架和平面梁单元，得到平面刚架单元的单元位移模式。第78页，课件共92页，创作于2023年2月以下简记为

第79页，课件共92页，创作于2023年2月单元的应力和应变杆单元的轴向应变：梁单元的轴向应变：综合平面桁架和平面梁单元，得到平面刚架单元的应力和应变。简记为：第80页，课件共92页，创作于2023年2月