机械陀螺的力学基础

机械陀螺的力学基础第1页，课件共38页，创作于2023年2月惯性系统的两个基本的组成部件：陀螺加速度计惯性技术中的许多问题可视为刚体绕定点的转动。所以，我们首先需要以力学知识为基础，在运动学上给予适当的描述。第2页，课件共38页，创作于2023年2月第二章力学基础知识2.1 定点转动刚体角位置的表示方法2.2 惯性技术中常用的坐标系2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4 哥氏加速度、绝对加速度与比力方程第3页，课件共38页，创作于2023年2月2.1 定点转动刚体角位置的表示方法2.1.1 定点转动刚体的自由度自由度：确定物体在某坐标系中位置所需的独立坐标数目。一个物体在空间运动共有六个自由度，即3个位移自由度，3个转动自由度。第4页，课件共38页，创作于2023年2月陀螺的自由度：自转轴可绕其自由旋转的正交轴的数目。试给出下列陀螺的自由度数目：2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第5页，课件共38页，创作于2023年2月2.1.2 用方向余弦描述定点转动刚体的角位置2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第6页，课件共38页，创作于2023年2月xyzRijki,j,k为单位矢量由图可得其中，空间矢量的分解2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第7页，课件共38页，创作于2023年2月o空间坐标系，绕任一轴旋转一个角度后到达新的位置，即有新的坐标系。将新坐标系三个坐标轴分别投影到原坐标系中的三轴上，即2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第8页，课件共38页，创作于2023年2月进而，可化为矩阵形式：即称为由坐标系到坐标系的方向余弦矩阵。o2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第9页，课件共38页，创作于2023年2月方向余弦矩阵是

，具有以下性质：两个方向余弦矩阵互为转置矩阵:两个方向余弦矩阵互为可逆矩阵:方向余弦矩阵的转置阵与可逆阵相等:因而可以得到矩阵等式：2.1 定点转动刚体角位置的表示方法正交矩阵第10页，课件共38页，创作于2023年2月2.1.3 用欧拉角描述定点转动刚体的位置刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可用三次独立转动的三个转角来确定，即欧拉法。这三个独立的转角即欧拉角。第一种欧拉角2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第11页，课件共38页，创作于2023年2月最终得到0系与r系的坐标转换关系：最早的转动矩阵放在最右边具体表达式是2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第12页，课件共38页，创作于2023年2月第二种欧拉角2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第13页，课件共38页，创作于2023年2月最终得到0系与r系的坐标转换关系：最早的转动矩阵放在最右边具体表达式是：2.1 定点转动刚体角位置的表示方法第14页，课件共38页，创作于2023年2月第二章力学基础知识2.1 定点转动刚体角位置的表示方法2.2 惯性技术中常用的坐标系2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4 哥氏加速度、绝对加速度和比力方程第15页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.1惯性参考坐标系（i系）惯性坐标系即满足牛顿力学定律的坐标系，一般取地球球心为原点。2.2 惯性技术中常用坐标系第16页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.2 地球坐标系（e系）原点在地心，z轴沿地轴方向，x、y轴在赤道平面内，x轴指向零度子午线，y轴指向东经90度。坐标系与地球固连。2.2 惯性技术中常用坐标系第17页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.3 地理坐标系（t系）原点位于载体在地球变面的位置点（或在地表的投影点），x轴沿当地指东，y轴指北。载体相对地球的运动会使地理坐标系相对地球坐标系转动，它包括两部分：1.地理坐标系相对地球坐标系的转动角速度；2.地球坐标系相对惯性坐标系的转动角速度。2.2 惯性技术中常用坐标系第18页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.4 地平坐标系（n系）原点位于载体所在点，x、y轴在当地水平面内，y轴沿载体航向方向，z轴沿当地垂线向上。2.2 惯性技术中常用坐标系第19页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.5 载体坐标系（b系）原点与载体质心重合，x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴与之形成右手坐标系。2.2 惯性技术中常用坐标系第20页，课件共38页，创作于2023年2月2.2.5陀螺坐标系xyz

O第21页，课件共38页，创作于2023年2月第二章力学基础知识2.1 定点转动刚体角位置的表示方法2.2 惯性技术中常用的坐标系2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4 哥氏加速度、绝对加速度和比力方程第22页，课件共38页，创作于2023年2月2.3.1 定点转动刚体的动量矩绕定点o转动的刚体内所有质点动量对o点之矩的和，称为刚体对该点的动量矩。表达式为又因为故，2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第23页，课件共38页，创作于2023年2月刚体质点的和可在动坐标系下分解为同样地，动量矩在动坐标系下可分解为2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第24页，课件共38页，创作于2023年2月当动坐标系的各轴与刚体的惯性主轴重合时，刚体对各动坐标系的惯量积都等于零。此时，定点转动刚体动量矩表达式可简化为2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第25页，课件共38页，创作于2023年2月2.3.2 动量矩定理将动量矩表达式对时间求一阶导数，等式最右边第一项为零。第二项表示外力对o点的力矩和，用表示。故有这就是矢量形式的动量矩定理：2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第26页，课件共38页，创作于2023年2月动量矩定理表明：刚体对任一定点的动量矩对时间的导数，等同于绕同一点作用于刚体的外力矩。注意：动量矩的变化率是以惯性坐标系为参考系动量矩定理另一种表达将看成动量矩矢量端点的速度，即于是，动量矩定理又可写成定理表明：刚体对定点的动量矩的矢量速度，等于绕同一点作用于刚体的外力矩。2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第27页，课件共38页，创作于2023年2月2.3.3 刚体定点转动的欧拉动力学方程刚体动量矩在动坐标系中可表示为惯性系中动量矩对时间求导： 动坐标系中动量矩对时间求导：刚体定点转动的欧拉方程，实际即为动量矩定理在动坐标系中的表述。2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第28页，课件共38页，创作于2023年2月容易看出所以有最后可以写出动量矩的绝对导数和相对导数的关系：根据动量矩定理，可得这就是矢量形式的欧拉动力学方程2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第29页，课件共38页，创作于2023年2月沿动坐标系各轴投影，可以得到：动系各轴与刚体惯性主轴重合时，进一步得到：2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程第30页，课件共38页，创作于2023年2月第二章力学基础知识2.1 定点转动刚体角位置的表示方法2.2 惯性技术中常用的坐标系2.3 动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4 哥氏加速度、绝对加速度和比力方程第31页，课件共38页，创作于2023年2月2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度产生分析2.4 哥氏加速度、绝对加速度与比力方程1、使相对速度方向改变的加速度：2、使牵连速度方向改变的加速度：（向心加速度）3、使牵连速度大小改变的加速度：第32页，课件共38页，创作于2023年2月2.4.1 哥氏（Coriolis）加速度哥氏加速度是由于相对运动和牵连运动相互影响而形成的哥氏加速度一般表达式：2.4 哥氏加速度、绝对加速度与比力方程第33页，课件共38页，创作于2023年2月2.4.2 绝对加速度的表达式（哥氏定理）由图，可以写出位置矢量方程在惯性系中，对时间求一阶导其中所以，2.4 哥氏加速度、绝对加速度与比力方程第34页，课件共38页，创作于2023年2月对时间再次求导，有又因为最终得到载体绝对加速度的表达式：2.4 哥氏加速度、绝对加速度与比力方程当动点的牵连运动为转动时，动点的绝对加速度应等于相对加速度、牵连加速度与哥氏加速度的矢量和：第35页，课件共38页，创作于2023年2月2.4.3 比力方程惯导系统中，加速度是由加速度计测量的。加速度计实际测量点不是载体的加速度，而是比力。其中，a为载体的绝对加速度，G为引力加速度。2.4