机电系统建模与仿真

机电系统建模与仿真第1页，课件共70页，创作于2023年2月2.2机构的数学建模2.2.1机构的运动学建模基于闭环矢量法的系统运动学模型：连杆机构定义各个杆件矢量R1,R2,R3,...

闭环矢量方程，正交分解被动杆件的速度方程

被动杆件的加速度方程第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第2页，课件共70页，创作于2023年2月举例：①定义连杆矢量②闭环矢量方程

R2+R3=R1+R4③矢量投影方程

r2cosθ2+r3cosθ3=r1cosθ1+r4cosθ4，

r2sinθ2+r3sinθ3=r1sinθ1+r4sinθ4④速度方程Cω=D第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第3页，课件共70页，创作于2023年2月⑤加速度方程Aε=B⑥仿真算法第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第4页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模D-H法建立运动学模型：

①对多体系统的每一刚体建立固连坐标系；

②应用坐标变换原理推导机构“末端坐标系”相对于“参考坐标系”的等价齐次变换矩阵。第5页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模坐标变换设Pxyz=[px,py,pz]T

Puvw=[pu,pv,pw]T

矢量表示法：

Puvw=puiu+pvjv+pwkw

px=ix

Puvw=puix

iu+pvix

jv+pwix

kw

py=jy

Puvw=pujy

iu+pvjy

jv+pwjy

kw

pz=kz

Puvw=pukz

iu+pvkz

jv+pwkz

kw第6页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模方向余弦矩阵用方向余弦矩阵描述同一点在不同坐标系统中的坐标变换，也可用于描述刚体定点旋转后的方位。

R为正交矩阵RT=R−1，detL=±1。方向余弦矩阵中仅有三个独立元素，各元素间存在如下的约束关系第7页，课件共70页，创作于2023年2月刚体的连续转动及其合成①当刚体作连续两次转动时，其合成转动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的乘积，乘积的顺序与分转动的顺序相反。②特殊情形：（注意变换方向）对x轴的转动对y轴的转动

对z轴的转动第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第8页，课件共70页，创作于2023年2月以欧拉角表示的旋转矩阵欧拉角方式I：绕Oz旋转

角→绕转动后的Ou轴转动θ角→绕转动后的Ow轴转动ψ角欧拉角方式II：绕Oz旋转

角→绕转动后的Ov轴转动θ角→绕转动后的Ow轴转动ψ角

欧拉角方式III：绕Ox旋转ψ角（偏转）→绕Oy轴转动θ角（俯仰）→绕Oz轴转动

角（侧倾）第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第9页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模齐次坐标和变换矩阵齐次坐标P=[wpx,wpy,wpz,w]T

齐次变换矩阵齐次平移矩阵第10页，课件共70页，创作于2023年2月举例：两关节机器人，平面运动问题O0x0y0z0→绕O0z0轴旋转q1→O1

x1

y1

z1

→沿O1

x1

轴平移l1→O1x1y1z1→绕O1z1轴旋转q2→O2

x2

y2

z2

→沿O2

x2

轴平移l2→O2x2y2z2

0T1=Rz,q1Tx,l1，1T2=Rz,q2Tx,l2，T=0T1·1T2末端齐次坐标（在O2x2y2z2）P2=[0001]变换至O0x0y0z0P0=TP2第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第11页，课件共70页，创作于2023年2月2.2.2典型传动机构的动力学模型定轴传动机构的模型第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第12页，课件共70页，创作于2023年2月齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第13页，课件共70页，创作于2023年2月齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第14页，课件共70页，创作于2023年2月齿轮传动机构的模型小结：（1）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。（2）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼B，等效到主动轴上时，Ke=n2K，Be=n2B。（3）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为nM。（4）从动轴上的转角

折算到主动轴上为

/n。（5）主动轴向从动轴的转换也成立。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第15页，课件共70页，创作于2023年2月备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设（1）齿轮具有理想的齿廓几何形状。（2）齿轮的材质是均匀的，在啮合过程中啮合刚度为常数。（3）齿轮啮合过程无功率消耗。（4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第16页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模丝杠螺母传动机构的模型惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。Je=mL(L/2

)2第17页，课件共70页，创作于2023年2月备注：其它物理量的等效转换力（矩）负载的等效转换：转换前后力（矩）负载对系统的作功（功率）不变。等效刚度：转换前后弹簧的变形能相等。等效阻尼：转换前后阻尼的耗能功率相等。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第18页，课件共70页，创作于2023年2月同步齿形带传动机构的模型主动轮半径：ri从动轮半径：rL齿形带弹性变形：Δl=ri

i

rL

L对主动轮和从动轮分别列写微分方程，并化简。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第19页，课件共70页，创作于2023年2月思考题：机床进给系统及简化K1,K2,K3—I,II,III轴的扭转刚度K4—丝杆螺母副及基座的轴向刚度J1,J2,J3—I,II,III轴上的转动惯量Mi—驱动马达输入转矩m—工作台直线运动部分质量B—工作台直线运动速度阻尼x0—工作台位移l—丝杆螺母的螺距z1,z2,z3,z4—齿轮齿数第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第20页，课件共70页，创作于2023年2月2.2.3系统的动力学模型拉格朗日法的基本原理拉格朗日方程T——质点系动能，qj——广义坐标，Qj——广义力或L——拉格朗日函数，L=K−P；K、P——质点系动能和势能；广义力Fj中不含有势力第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第21页，课件共70页，创作于2023年2月广义力的计算定义式

在虚位移上的元功之和相等有势力的广义力

V——势能函数

第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第22页，课件共70页，创作于2023年2月举例：二关节机械手①选取广义坐标，建立坐标系②计算系统动能和势能③求出拉格朗日函数及其偏导数④求广义力⑤代人拉格朗日方程第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第23页，课件共70页，创作于2023年2月Kane法Kane方程（1）：在具有独立广义坐标qj（j=1,2,…,k）和m（m<k）个速度约束的非完整约束系统中，引入k

m个独立的系统广义速率us（s=1,2,…,k

m），使广义速度表达为广义速率的线性组合：

Wjs和Wj为广义坐标qj和时间t的确定性函数；设若有us=d

s/dt，称

s为对应于us的伪坐标。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第24页，课件共70页，创作于2023年2月

Kane方程（2）：质点系中任一质点的矢径ri（i=1,2,…,n）均为广义坐标和时间的函数：

ri=ri(q1,q2,…,qk,t)质点的速度将式中广义速度表达为广义速率线性组合的形式第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第25页，课件共70页，创作于2023年2月Kane方程（3）：令其中vi(s)称质点i的第s偏速度。质点i的速度即表示成广义速率的线性组合第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第26页，课件共70页，创作于2023年2月Kane方程（4）：将质点速度vi对广义速率取变分故，代入动力学普遍方程第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第27页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模Kane方程（5）：定义对应于us的广义主动力广义惯性力则由

s的相互独立性，得到Kane方程第28页，课件共70页，创作于2023年2月利用Kane方程建立动力学模型的步骤（1）：建立偏速度方程：对自由度为k的多刚体系统，记

i、

vCi及vij分别为系统中任一刚体Bi的角速度、质心速度及其上任意质点Pij的速度，据Kane方程由于刚体运动可视为平动和绕质心转动的合成

vij=vCi+

i

ij

其各偏速度之间也存在类如上式的关系

vij(s)=vCi(s)+

i(s)

ij第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第29页，课件共70页，创作于2023年2月利用Kane方程建立动力学模型的步骤（2）：广义主动力方程：作用于刚体Bi的广义主动力

记Fi=∑Fij表示作用于刚体Bi的全部主动力之和，Li=∑

ij

Fij表示全部Fij对Bi质心的矩的和。质点系的广义主动力为各刚体上广义主动力之和

或写成矩阵形式第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第30页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第31页，课件共70页，创作于2023年2月利用Kane方程建立动力学模型的步骤（3）：广义惯性力方程：作用于刚体Bi的广义惯性力记Fi*=

∑mijaij=

MiaCi，Li*=∑

ij

mijaij，Mi和aCi分别为刚体Bi的质量和质心加速度。进一步地，因aij=aCi+

i

ij+

i(

i

ij)第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第32页，课件共70页，创作于2023年2月写成正交分量形式以ei=[ei1,ei2,ei3]表示{Li*}的向量基

第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第33页，课件共70页，创作于2023年2月综合为矩阵形式第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第34页，课件共70页，创作于2023年2月利用Kane方程建立动力学模型的步骤（4）：将以上得到的广义主动力和广义惯性力代入Kane方程写成矩阵形式亦即第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第35页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模备注（1）：关于矢量的坐标列阵对于任意的矢量ω=ωxi+ωyj+ωzk，ωx、ωy和ωz为其在直角坐标系的正交分量，则称下列矩阵ω为的坐标列阵第36页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模备注（2）：关于刚体的惯性（或惯量）矩阵Jxx、Jyy、Jzz——刚体对x、y、z轴的转动惯量（惯量矩）；Jxy、Jyz、Jzx——刚体的惯量积第37页，课件共70页，创作于2023年2月备注（3）：主轴坐标系和惯量主轴使惯量矩阵成为对角阵的连体坐标系称为刚体的主轴坐标系，各坐标轴称刚体的惯量主轴，惯量矩阵的对角线元素称为刚体的主惯量矩。刚体对不同参考点均存在不同的惯量主轴和主惯量矩，其中对质心的惯量主轴和主惯量矩称中心惯量主轴和中心主惯量矩。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第38页，课件共70页，创作于2023年2月备注（4）：对于惯量主轴的判断1.刚体对称轴为其上各点的惯量主轴，过对称轴上一点并与之垂直的任意轴也是该点的惯量主轴；2.刚体对称平面上各点的法线为该点的惯量主轴；3.过球对称刚体对称点任意轴为该点的惯量主轴；4.中心惯量主轴上各点的惯量主轴与前者平行。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第39页，课件共70页，创作于2023年2月Kane法应用举例①选取广义速率

u1=dθ1/dt，u2=dθ2/dt②将质心速度和角速度表达为广义速率的线性组合，得到相应的偏速度③求解广义主动力④求解广义惯性力⑤建立动力学方程第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第40页，课件共70页，创作于2023年2月联立约束法建立动力学模型根据牛顿定律列出每个连接杆件（运动部件）的力（力矩）平衡方程，同时将系统约束方程一起联立，建立约束矩阵方程。通过求解约束矩阵方程不仅可求出各构件动力-运动关系，还可同时解出各构件间的约束反力。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第41页，课件共70页，创作于2023年2月应用举例①力平衡方程②约束方程③约束矩阵方程第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第42页，课件共70页，创作于2023年2月2.3面向实体的机构建模2.3.1基于ADAMS的机械系统建模2.3.2基于MATLAB的机构建模第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第43页，课件共70页，创作于2023年2月2.4试验建模2.4.1辨识的基本概念试验建模或系统辨识：根据系统的输入输出数据建立系统数学模型。确定数学模型结构和估计数学模型参数。离线辨识与在线辨识。试验建模的方法：频率响应法、脉冲试验法、随机信号试验法第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第44页，课件共70页，创作于2023年2月2.4.2最小二乘辨识方法最小二乘法的定义（1）：数学模型的结构对SISO系统：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+e(k)

将算子A和B的各系数组成向量

=[a1,a2,…,an,b0,b1,b2,…,bn]T

并令

(k)=[y(k1),…,y(k

n),u(k),…,u(k

n)]T

y(k)=

T(k)

+e(k)

对N次观测，将k=n+1,…,n+N代入上式，得到N个方程组成的线性方程组。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第45页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘法的定义（2）：线性方程组形式的数学模型令Y=[y(n+1),y(n+2),…,y(n+N)]T

e=[e(n+1),e(n+2),…,e(n+N)]T

那么Y=

+e第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第46页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘法的定义（3）：残差及准则函数记参数

的估计值为，由模型估计y(k)的值残差：估计值和实际观测的差准则函数：

或J(

)=(Y

)T(Y

)

使J(

)最小的估计值称

的最小二乘估计。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第47页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘的解：

J(

)取极值的条件：J(

)=0

T

TY=0

T

=

TY

普通最小二乘估计第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第48页，课件共70页，创作于2023年2月噪声对估计值的影响假若噪声e(k)是具有不同统计特性的随机变量，则引入加权因子w(k)

或令w=diag[w(n+1),w(n+2),…,w(n+N)]

J(

)=(Y

)T·w·(Y

)

由J(

)=0，当e(k)是相互独立且具有同分布的随机变量，w=I普通假定e(k)是与输入无关的白噪声并服从正态分布。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第49页，课件共70页，创作于2023年2月统计特性：①无偏性②有效性当w=R1时，加权最小二乘估计是最小误差方差估计。③一致性：若e(k)是零均值白噪声序列（高斯白噪声），是

的一致估计。④渐进正态性：若e(k)是高斯白噪声，服从正态分布。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第50页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘递推算法（1）：无矩阵求逆，减少计算量和存储量；跟踪时变系统，实现在线辨识。对于任意的N次观测，记PN=[

NT

N]1，有最小二乘解增加一组新观测值uN+1=u(n+N+1)，yN+1=y(n+N+1)：

YN+1=

N+1T

+eN+1；其中，YN+1=[YNT,yN+1]T，

N+1T=[

NT,

N+1]，

N+1=[yn+N,…,yN+1,un+N+1,…,uN+1]T第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第51页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘递推算法（2）：PN+1与PN间的递推关系第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第52页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘递推算法（2）：与间的递推关系第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第53页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘递推算法（3）：算法流程①由m组数据确定初值和Pm；或简单令，P0=

2I，

为大的正数。②引入新一组观测数据uN+1和yN+1，构造

N+1=[yn+N,…,yN+1,un+N+1,…,uN+1]T③计算增益矩阵GN+1=PN

N+1/(1+

N+1TPN

N+1)④计算预报误差，满足迭代终止条件时结束计算。⑤不满足迭代终止条件时计算PN+1=PN

GN+1

N+1TPN及，并转②。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第54页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘适应算法（1）：数据饱和现象增益矩阵随数据的增长而渐趋于0，使。发生数据饱和时如参数估计值距真值偏差尚远，算法因失去修正能力而失效；对时变过程，将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化。克服数据饱和的方法：设法降低旧数据的影响。对时变系统，在辨识算法中充分利用新数据所包含的信息。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第55页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘适应算法（2）：遗忘因子法引入遗忘因子

（0<

<1），并令

=

2

须为接近于1的正数，适用于常系数或缓慢时变系统。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第56页，课件共70页，创作于2023年2月最小二乘适应算法（3）：限定记忆法设长度为N的数据，有

NT=[

1,

2,…,

N]，且PN=(

NT

N)1为已知，此时有估计。当有新数据{uN+1,yN+1}加入，据递推公式有为保持数据长度为N，在序列中剔除数据{u1,y1}，并对pN+1作修正，有存在估计，注意此处

N+1T=[

2,…,

N,

N+1]，YN+1=[yn+2,…,yn+N,yn+N+1]T。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第57页，课件共70页，创作于2023年2月改进的最小二乘算法（1）：增广最小二乘法在数学模型中引入噪声模型：A(z1)y(k)=B(z1)u(k)+D(z1)e(k)，或y(k)=

T(k)

+e(k)

=[a1,a2,…,ana,b0,b1,b2,…,bnb,d1,d2,…,dm]T

(k)=[y(k1),…,y(k

na),u(k),…,u(k

nb),

e(k1),…,e(k

m)]T在此要求e(k)是可测量的。递推增广增广最小二乘法的算法与RLS的形式一致，只是参数向量的维数扩充了m维。算法简单，具有一致无偏性。第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第58页，课件共70页，创作于2023年2月改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法在SISO模型中，将有色噪声e(k)描述为以白噪声序列{

(k)}为输入的线性系统的输出：D(z1)e(k)=

(k)，D(z1)=1+d1z1+d2z2…+dmz

m

将D(z1)算子作用于SISO模型：A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+D(z1)e(k)

即A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+

(k)

将yf(k)=D(z1)y(k)和uf(k)=D(z1)u(k)视为白化滤波处理后的输出和输入。A(z1)yf(k)=B(z1)uf(k)+

(k)第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模第59页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法求解步骤①令D(z1)=1，利用基本最小二乘法对A(z1)和B(z1)进行估计得到和；②计算；③由D(z1)e(k)=

(k)，估计；④由D(z1)计算yf(k)=D(z1)y(k)及uf(k)=D(z1)u(k)，而后重新估计A(z1)和B(z1)；

⑤重复步骤②~④，直到满足估计精度。第60页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法的递推算法设tk时刻的模型和噪声参数估计分别为和①在tk+1时刻对新加入数据yk+1和uk+1进行滤波：并令②据和RLS算法将系统参数修正为③计算残差估计，并构造残差数据向量④据

k+1和RLS算法将系统参数修正为第61页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模改进的最小二乘算法（3）：辅助变量法原理设存在与

同阶的辅助变量矩阵Z，使非奇异，且（Z与e独立）当矩阵Z的选择与噪声无关而与数据阵

密切相关，并满足上述假设条件时，即为

的无偏一致估计：辅助变量的选择方法：迭代辅助变量算法、自适应滤波法、纯滞后和Tally原理等。第62页，课件共70页，创作于2023年2月第二章机电传动系统建模方法

——机构的数学建模改进的最小二乘算法（3）：迭代辅助变量法的参数估计流程①首先据观测数据

、Y计算最小二乘估计。②将代入关系式：A(z1)w(k)=B(z1)u(k)，求得w(k)，w(k)为假定的理想系统在u(k)输入下的输出。③构造辅助变量矩阵④求，并以取代，返回步骤②反复循环迭代，直至