材料力学 第八章 - 弯曲变形

材料力学第八章-弯曲变形第1页，课件共78页，创作于2023年2月同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第八章弯曲变形

材料力学第2页，课件共78页，创作于2023年2月回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。

本章:

弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。第八章弯曲变形

第3页，课件共78页，创作于2023年2月研究弯曲变形的目的（1）刚度计算；（2）解简单的超静定梁。本章的基本内容：一、弯曲变形的量度及符号规定；二、挠曲线及其近似微分方程三、计算弯曲变形的两种方法

(1)积分法(2)叠加法四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施五、用变形比较法解简单的超静定梁。第八章弯曲变形

第4页，课件共78页，创作于2023年2月一、弯曲变形的量度及符号规定第八章弯曲变形

第5页，课件共78页，创作于2023年2月梁的挠度和转角ypxcw1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定

第6页，课件共78页，创作于2023年2月梁的挠度和转角ypxcw（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。W（-）θ（-）第八章弯曲变形/一、弯曲变形的量度及符号规定

第7页，课件共78页，创作于2023年2月第八章弯曲变形

二、挠曲线及其近似微分方程第8页，课件共78页，创作于2023年2月1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）第八章弯曲变形/二、挠曲线及其近似微分方程

第9页，课件共78页，创作于2023年2月MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)第10页，课件共78页，创作于2023年2月2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2)FA＝0FB＝0MCD＝const答案DABCD第11页，课件共78页，创作于2023年2月2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(3)

pplpplpplpplFA＝0pplABCDMBD＝constFB＝P答案C第12页，课件共78页，创作于2023年2月力学公式数学公式1

＝MEI纯弯曲横力弯曲（l／h＞5）1

（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－3、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系第13页，课件共78页，创作于2023年2月小挠度情形下此即弹性曲线的小挠度微分方程横力弯曲1

（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)2<<1＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）第14页，课件共78页，创作于2023年2月2owxMM选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释MEI＝d2dx2（x）近似解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。第15页，课件共78页，创作于2023年2月22(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程＝d2dx2M(x)EI

M(x)EI＝d2dx2第16页，课件共78页，创作于2023年2月第八章弯曲变形

三、计算弯曲变形的两种方法第17页，课件共78页，创作于2023年2月1、积分法——基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第18页，课件共78页，创作于2023年2月(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第19页，课件共78页，创作于2023年2月(3)利用边界条件、连续条件确定积分常数

①积分常数的数目——取决于的分段数

M(x)——n段积分常数——2n个举例：分2段，则积分常数2x2=4个第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第20页，课件共78页，创作于2023年2月②积分常数的确定——边界条件和连续条件：

边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。

连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。边界条件积分常数2n个=2n个连续条件第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第21页，课件共78页，创作于2023年2月边界条件：连续条件：例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第22页，课件共78页，创作于2023年2月例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。解：边界条件：

连续条件：

第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第23页，课件共78页，创作于2023年2月④积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。几何意义：C——转角D——挠度(4)建立转角方程和挠曲线方程；(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第24页，课件共78页，创作于2023年2月AqBL例题悬臂梁受力如图所示。求和。X``yx取参考坐标系Axy。解：1、列出梁的弯矩方程2、积分一次：积分二次：（1）（2）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第25页，课件共78页，创作于2023年2月3、确定常数C、D.由边界条件：代入（1）得：代入（2）得：代入（1）（2）得：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第26页，课件共78页，创作于2023年2月代入得：将（与C比较知：）（与D比较知：）常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)因此常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第27页，课件共78页，创作于2023年2月例题

一简支梁受力如图所示。试求和。ALFCabyx解：1、求支座反力x2、分段列出梁的弯矩方程BC段xAC段B第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第28页，课件共78页，创作于2023年2月BC段AC段3、确定常数由边界条件：（1）（2）由光滑连续条件：（3）（4）可解得：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第29页，课件共78页，创作于2023年2月则简支梁的转角方程和挠度方程为BC段AC段4、求转角代入得：代入得：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第30页，课件共78页，创作于2023年2月5、求。求得的位置值x。则由解得：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第31页，课件共78页，创作于2023年2月代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第32页，课件共78页，创作于2023年2月积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁的、、、：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第33页，课件共78页，创作于2023年2月分段建立弯矩方程：AB段：

（0<x1≤)BC段：

（）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第34页，课件共78页，创作于2023年2月二、分段建立近似微分方程，并对其积分两次：AB段：即：

……………（1）……（2）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第35页，课件共78页，创作于2023年2月BC段：………（3）…（4）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第36页，课件共78页，创作于2023年2月三、利用边界条件、连续条件确定积分常数由边界条件确定C1、D1：当当时，,由（1）式得C1=0；时，,由（2）式得D1=0。由连续条件确定C2、D2：第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第37页，课件共78页，创作于2023年2月当时，,即联立(1)、(3)式子：，当时，，即联立(2)、(4)式：

即得：D2=0第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第38页，课件共78页，创作于2023年2月四、分段建立转角方程、挠曲线方程：AB段：………（5）

……（6）BC段：…………（7）……（8）第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第39页，课件共78页，创作于2023年2月五．求梁指定截面上的转角和挠度当时，由（5）式得，由（6）式得，

当时，由（7）式得，

由（8）式得，

第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第40页，课件共78页，创作于2023年2月

叠加法前提小变形

力与位移之间的线性关系挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。2、叠加法——简捷方法须记住梁在简单荷载作用下的变形——挠曲线方程、转角、挠度计算公式。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第41页，课件共78页，创作于2023年2月叠加法的两种处理方法：（1）荷载叠加：叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。第八章弯曲变形/三、计算弯曲变形的两种方法

第42页，课件共78页，创作于2023年2月www已知：q、l、EI求：wC,

B例题第43页，课件共78页，创作于2023年2月www第44页，课件共78页，创作于2023年2月第45页，课件共78页，创作于2023年2月例题

怎样用叠加法确定

C和wC?w第46页，课件共78页，创作于2023年2月wwww第47页，课件共78页，创作于2023年2月ww第48页，课件共78页，创作于2023年2月w第49页，课件共78页，创作于2023年2月（2）逐段刚化法：第50页，课件共78页，创作于2023年2月例题:试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度由于梁的抗弯刚度EI在B处不连续，若由挠曲线微分方程积分求解，须分段进行，工作量较大。可用叠加法求解。假定AB段刚化，研究自由端C对截面B的相对挠度;2.解除AB段的刚化，并令BC段刚化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB悬臂梁BC第51页，课件共78页，创作于2023年2月由梁的变形连续条件，直线BC因AB段的弯曲变形而移位到的位置，使C点有相应的挠度将图（b）和（c）两种情况的变形叠加后，即可求得自由端C的挠度这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。APMB=Pl/2BCwc2wBpcBwc1第52页，课件共78页，创作于2023年2月p

例题:用叠加法求AB梁上E处的挠度第53页，课件共78页，创作于2023年2月wE=wE1+wE2

=wE1+wB/2wE1pwE2pwB=?第54页，课件共78页，创作于2023年2月wB=wB1PPpl+wB2+wB3WB2=CC'WB3=C‘C''第55页，课件共78页，创作于2023年2月第八章弯曲变形

四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施第56页，课件共78页，创作于2023年2月刚度条件：[w]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[w]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示，例如：对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：第八章弯曲变形/四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施

第57页，课件共78页，创作于2023年2月梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：材料——梁的变形与弹性模量E成反比；截面——梁的变形与截面的惯性矩成反比；跨长——梁的变形与跨长l的n次幂成正比第八章弯曲变形/四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施

第58页，课件共78页，创作于2023年2月(1)减小跨度，增加支座，或加固支座。例如受q作用的简支梁：方法：增加支座：LABqLABq第八章弯曲变形/四、刚度条件提高梁弯曲刚度的措施

第59页，课件共78页，创作于2023年2月加固支座：LABqLABq(2)选用合理截面，。常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。第60页，课件共78页，创作于2023年2月(3)合理安排载荷作用点，以降低。方法：使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：AlFCa(4)其它：因钢的E基本相同，所以材料的杨氏模量对变形影响不大。第61页，课件共78页，创作于2023年2月第八章弯曲变形

五、用变形比较法解简单超静定梁第62页，课件共78页，创作于2023年2月1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：(1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁；(2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程；(3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。3、简单超静定梁求解举列。第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第63页，课件共78页，创作于2023年2月超静梁—未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或静不定问题）。超静次数=未知力的数目-独立平衡方程数BqL4个约束反力，3个平衡方程，静不定次数=11、超静定的概念第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第64页，课件共78页，创作于2023年2月2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：(1)确定超静定次数。(2)选择基本静定梁。

静定梁(基本静定基)—

将超静定梁的多余约束解除，得到相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以及内力。

多余约束—

杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束或多余杆件。多余约束的数目=超静定次数BqL多余约束的数目=1第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第65页，课件共78页，创作于2023年2月静定梁(基本静定基)选取(2)解除A端阻止转动的支座反力矩作为多余约束,即选择两端简支的梁作为基本静定梁。BqLA(1)解除B支座的约束,以代替，即选择A端固定B端自由的悬臂梁作为基本静定梁。BqLA第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第66页，课件共78页，创作于2023年2月(2)基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。基本静定基选取可遵循的原则：(1)基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第67页，课件共78页，创作于2023年2月ABqLBqLABqLA3、列出变形协调条件。比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第68页，课件共78页，创作于2023年2月本例：(1)4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。仅有q作用，B点挠度为：仅有作用，B点挠度为：因此解得:BqlA第八章弯曲变形/五、用变形比较法解简单超静定梁第69页，课件共78页，创作于2023年2月5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。本例：(1)BqLA（）第八