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15.3分式方程

第1课时分式方程及其解法

问题1、为了解决引言中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？

探究新知

答：未知数位于分母的位置上．

答：分母中都含有未知数．

追问：方程

与上面的方程有什么共同特征？

探究新知

分式方程的概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意

我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．

探究归纳

下列式子中，属于分式方程的是，

属于整式方程的是（填序号）．

（2）（3）

（1）

新知巩固

问题2、你能试着解分式方程吗？

探究新知

即

解得

解：方程两边同乘各分母的最简公分母

追问：你得到的解是分式方程的解吗？

归纳：

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.

探究归纳

检验：将v=6代入上述分式方程中，左边==右边，因此v=6是分式方程的解.

问题3、解分式方程：

追问：你得到的解x=5是分式方程的解吗？该如何验证呢？

探究新知

答：x=5是原分式方程变形后的整式方程的解，

但不是原分式方程的解．

解：方程两边同乘各分母的最简公分母(x-5)(x+5),

得整式方程x+5=10.

解得x=5.

解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

探究归纳

追问：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90(30-v)=60(30+v)的解v=6是分式方程的解，而整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程的解？

探究新知

探究归纳

原因：在去分母的过程中，使原分式方程变形成了整式方程，分式方程等号两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式的解与分式方程的解相同；

而分式方程等号两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使分式方程出现分母为0的情况，因此这样的解不是原分式方程的解.

例1、解方程

解：方程两边同乘(x-1)(x+2),得

x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.

化简，得x+2=3.

解得x=1.

检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，x=1不是原分式方程的解，所以,原分式方程无解.

例题讲解

解：方程两边同乘x-a，得

a+b(x-a)=x-a.

去括号，得a+bx-ab=x-a;

移项、合并同类项，

得(b-1)x=ab-2a.

∵b-1≠0,

∴b≠1.

例2、解关于x的方程

例题讲解

∴

所以，是

原分式方程的解．

检验：当时，

x-a≠0，

解：方程两边同乘x(x+1)，得

m(x+1)-nx=0.

化简，得mx+m-nx=0.

移项、合并同类项，得(m-n)x=-m

∵m≠n≠0，

∴m-n≠0，

解关于x的方程（m≠n≠0）.

随堂练习

所以，是

原分式方程的解．

∴

检验：当时，

x(x+1)≠0

解分式

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