浙江宁波市北仑区2022-2023学年数学高一年级上册期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.命题P：a＞l＞命题《：—＜1（其中aeR）,那么。是9的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横

轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是。

3.下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是。

,y=2xB.

zy=-X

C)=|.r|

4.若AABC的外接圆的圆心为a半径为4,丽+2荏+2/=6,则3在无方向上的投影为（）

A.4B.V15

C.V7

5.已知。＞0,。＞1,且aS—1）=4,则a+人的最小值为（）

A.3B.4

C.5D.6

6.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},8={3,4,6},贝iJ(aA)c5=()

A.B.{2,5}

C.{2,4}D.{4,6}

'(x)的图象向右平移三个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin1-仁]的

7.将y=l

图象，则f(x)=()

,.1

A.cos2xB.sin—x

2

fl:+看)、皿卜+1

C.cos—>

12

8.已知定.义在R上的函数/(力=6-*-他*(加€/?)是奇函数，设a=/(log32),Z?=/(log53),c=,

则有()

cB.c<a<b

C.a<c<bY).b<c<a

9.设函数y=54—f的定义域A,函数y=ln(x—1)的定义域为3,则AD8=()

A.(l,2)B.(l,2]

C.(-2,l)D.[-2,l)

10.已知就激/(x+l)=3x+16,若/(a)=3喀％则实数a的值为()

A.lB.-l

C.2D.-2

11.已知瞭^A={X/一>6<0},集合8={x|无一l>0},则(M4)n8=()

A.(1,3)B.(1,3]

C.[3,+oo)D.(3,+OO)

12.若直线/：丁=履-石与直线x+y-3=0相交，且交点在第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是

A.(0°,60°)B.(30°,60°)

c,（30°,90°）D,（60°,90°）

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田

面积=1x（弦X矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的

2

距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2,半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面

积是平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：sin1»0.84,cos1«0.54）

14.函数/。）="1+3的图象一定过定点尸，则尸点的坐标是

’22-X,A<2

15.已知函数/（x）=10g3（x+l）,xN2,若关于x的方程/（x）=m有两个不同的实根，则实数机的取值范围是

16.已知函数/（x）是奇函数，当xe（-8,0）时，f（x）=x2+mx,若/（2）=-3,则m的值为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.已知函数/（x）=2sin（2x+。]—].

（1）若点P0,-百）在角a的终边上，求/a兀

7~12的值;

（2）若xw-H，求/（'）的值域，

18.已知。£（工，万）.

2

（1）sincr=—,求tana和cos2a的值；

3

（2）若cos（a-己）=一正，求cosa的值.

19.已知e1，e2是夹角为6（X的两个单位向量，且向量W=e1+2e2，b=2e]-e2.^c：

(l)|a|.|b|,a-b;

⑵向量A与6夹角的余弦值

20.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有同学发

现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点「(加,〃)成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+m)-〃为奇函

4

数・已知小)=中

(1)利用上述结论，证明：/(X)的图象关于成中心对称图形；

(2)判断了(力的单调性(无需证明)，并解关于x的不等式/(1+办+f)+/(x)<2

21.已知函数/(x)=Asin{tox+^)fXGR,ey>0,0<^?<^-j的部分图象如图所示

(1)求函数f(x)的解析式

兀

(2)求函数/(x)在区间-,,0上的最大值和最小值

22.求函数/(x)=J『-3;+3的定义域、值域与单调区间;

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1、A

【解析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.

【详解】当时，L—1=上工所以由。>1能推出!<1,

aaaa

当,<1时，显然当。=一1时，满足但是。>1不成立，

aa

因此P是4的充分不必要条件，

故选：A

2、A

【解析】纵轴表示离家的距离，所以在出发时间为/=0可知C,D错误，再由刚开始时速度较快，后面速度较慢，可根

据直线的倾斜程度得到答案.

【详解】当时间f=0时，5=0,故排除C,D；

由于刚开始时速度较快，后面速度较慢，

所以前段时间的直线的倾斜角更大.

故选：A.

【点睛】本题考查根据实际问题抽象出对应问题的函数图象，考查抽象概括能力，属于容易题.

3、C

（解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】y=2\不是偶函数；

.不是偶函数；

，v=X-

y=卜是偶函数，且函数在:一s,0）上是减函数，所以该项正确；

1,=_产是二次函数，是偶函数，且在g0：上是增函数，

故选：C.

4、C

【解析】过。作BC的垂线，垂足为分析条件可得砺=4必，作出图分析结合投影的几何意义可进而可求得

投影..

【详解】过。作8C的垂线，垂足为则M为BC的中点，连接AM,

A

B

o

由0X+2A方+2Xe=0W+4AM=6,可得。Z=4加，

所以O,M,A三点共线，即有AM_LBC,

且OM=(QA=3,OC=4.

所以CM=JCC2_。”=Ji6-9="

不在在方向上的投影为1mleosNACB=CM=e，

故选:C.

5、C

44

【解析】依题意可得。=丁二，则。+6=丁一7+匕，再利用基本不等式计算可得；

b-\o-l

4

【详解】解：因为a>0力>1且。(。-1)=4,所以—,所以

0-1

441-4

a+b=——+b=——+(/?-l)+l>2J----(。-1)+1=5

b-\h-11)\b-\''

4

当且仅当——=b-\,即匕=3,a=2时取等号；

0-1

所以。+人的最小值为5

故选：C

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的

和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，

这也是最容易发生错误的地方

6、D

【解析】由补集、交集的定义，运算即可得解.

【详解】因为U={1,2,3,4,5,6},A={1,3},所以々A={2,4,5,6},

又8={3,4,6},所以={4,6}.

故选：D.

7、A

【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得：将丫=$抽1一£)的图象所有点的横坐标缩短到原来的g倍,

再把所得图象向左平移^■个单位，即可得到f(x)的图象，得解

【详解】解：将丫=4!1|^-21的图象所有点的横坐标缩短到原来的g倍得到y=sin(2x-巳)，

再把所得图象向左平移四个单位，得到f(x)=sin2卜+当一2=cos2x,

3y3yO

故选A

【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换，属于简单题

8、D

【解析】根据函数/(X)是奇函数的性质可求得m,再由函数/(X)的单调性和对数函数的性质可得选项.

【详解】解：因为函数/(力的定义在R上的奇函数，所以"0)=0,即/(0)=e“—me°=0,解得〃z=l,

所以/(x)=eT-e",所以/(x)在R上单调递减，

112119

3

又因为一log323<-log39=—,-log53>-log525=-,所以b<c<a

333333

故选：D.

9,B

【解析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.

【详解】由4一工22。得—2VxW2,由％—1>0得x>l,

故AnB={x|-2<xW2}n{x|x>l}={x|1<x<2},

故选：B.

【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：

(1)分式的分母不为零；

(2)偶次根号后(〃eN*,”N2,〃为偶数)中，«>0；

(3)零的零次方没有意义;

(4)对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

10、B

【解析】首先求出了(x)的解析式，再根据指数对数恒等式得到/(。)=10,即可得到方程，解得即可；

【详解】解：根据题意，/(x+l)=3x+16=3(x+l)+13,

则有/(x)=3x+13,若/(。)=3噫i°=l(),即3。+13=1(),解可得。=一1,

故选：B

11、C

【解析】解不等式求出集合A中的x的范围，然后求出A的补集，再与集合5求交集即可.

【详解】集合A={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},

则={x[x<-2,x>3}

集合3={x|x-1>O}={x|x>l},

(M)A5={X|X>3},

故选：C.

【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题.

12、C

[3+0o

【解析】联立方程卜=”一”得交点(上叵，上且)，由交点在第一象限知："k「解得人〉立，

x+y—3=0l+k\+k3女一百〉03

1+k

即tana>走,a是锐角，故30°<a<90°,选C.

3

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13、0.49

【解析】由题设可得“弦”为2sinl,“矢”为1-cosl,结合弧田面积公式求面积即可.

【详解】由题设，“弦”为2sinl,“矢”为1-cosl,

1,1,

所以所得弧田面积是—x[2sin1x(1-cos1)+(1-cos1了]。-x[1.68x(1-0.54)+(1-0.54)2]»0.49.

22

故答案为：0.49.

14、（1,4）

【解析】已知y="过定点(0,1),由y=a'向右平移1个单位，向上平移3个单位即可得/(x)+3,故根据平

移可得到定点.

【详解】〃x)=/T+3由y=优向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，y=优过定点(()/)，则〃x)=a'T+3

过定点(1,4).

【点睛】本题考查指数函数的图象恒过定点(0,1)以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是

定点.

15、(1,+co)

【解析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案

I22-A,X<2

【详解】解：由题意作出函数〃X)=Iog3(x+l),x22的图象，

关于x的方程/(x)=m有两个不同的实根等价于

22-A-,A-<2

函数/(X)=Iog3(x+D，x22与y=〃7有两个不同的公共点，

由图象可知当时，满足题意，

故答案为(1,+8)

【点睛】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题

16.1

2

【解析】由奇函数可得/(-2)=-/(2)=3，则可得/(—2)=(―2)2-2m=3,解出m即可

【详解】因为fM是奇函数，/（2）=-3,所以/（-2）=-/（2）=3,即/（一2）=（-2）2-2m=3,解得根=耳

故答案为：!

2

【点睛】本题考查利用奇偶性求值，考查已知函数值求参数

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、（1）-6-1；（2）[-2,1].

【解析】（1）先根据三角函数定义求得sina=-3,1

cosa=—,的值即可;

22

7T71571

（2）根据题意得一，再结合三角函数的性质即可求得答案.

666

【详解】解：（1）因为点P（L-6）在角a的终边上，

1

所以sina=-----,cosa=一,

22

冗冗~.,兀C715K

因为—,所以一7W2x+：<，

63」666

7"7CTC5TC

而丁二5抽，在上单调递增，在-，—上单调递减,

o22o

TT5乃I

所以函数卜=.在亮工上的最大值为L最小值为-5,

即一g<sinf2%+^-

<1,

所以/（X）的值域是

【点睛】本题考查三角函数的定义，整体换元法求函数的值域，考查运算能力，是中档题.

_旦,7

18、(1)

一79

万+2厉

'乙）---------------

10

【解析】（1）根据同角三角函数基本关系式，以及二倍角公式，即可求解；

（2）根据角的变换-+再结合两角和的余弦公式，即可求解.

【小问1详解】

.1（万）

ona=一,aG一,万,

3【2）

cosa--Jl-sin2a=一^^，得tana=‘抽°=,

3cosa4

cos2a=1-2sin~a=一；

9

【小问2详解】

・•・cos("马=-或

35

12A/5y/36+2厉

X----------------X-------=--------------------------

25210

19、(1)同=近,忖=百,ab=|⑵答

【解析】（1）根据I，1是夹角为60的两个单位向量即可求出[•[=；，然后利用向量的模的公式和数量积公式即

a-b

可求得结果；⑵根据cos@5）=而即可求出向量万石夹角的余弦值

【详解】（l）・.£,e；是夹角为60的两个单位向量;

―—,1

•**ei-e2=-5

,—*2—•—•—•21—♦2—♦»*2

/.a=e,+4C1-e+4e=l+4x—+4=7

22b'=4e,—4e,-e2+e,=4—2+1=3,

--2———233

3,b—2c.+3c.•—2c=2H------2=一；

112222

|a|=V7,|b|=V3,ab=—；

_3

⑵cosM)祠="云=察

【点睛】本题考查向量模的公式，考查向量数量积计算公式以及向量夹角的余弦公式，属于基础题

20、(1)证明见解析

(2)/(x)为单调递减函数，不等式的解集见解析.

【解析】⑴利用已知条件令g(x)=/1x+；)-1,求出g(x)的解析式，利用奇函数的定义判断g(x)为奇函数,

即可得证；

(2)由(1)得/(x)+/(l-x)=2,原不等式变成/(1+G:+X2)</(1—X),利用函数〃x)单调性化为含有参

数。的一元二次不等式，求解即可.

【小问1详解】

证明：.•"("=£7,令g(x)=/(x+g)—1,

4______42+24_1-4-'1—4’

c产；一—2+24-2+24-1+4,'即g(x)=

f

2+42l+4

l-4-x4V-1

又：g(-%)==—g(4

1+4-*-4'+1

:.g(x)为奇函数,

有题意可知，的图象关于成中心对称图形;

【小问2详解】

易知函数y=2+4'为单调递增函数，且2+4'>0对于xwR恒成立,

4

则函数/(x)=5百在R上为单调递减函数,

由⑴知，“X)的图象关于G，”成中心对称图形，即/(x)+/(l-x)=2,

不等式/.(l+ox+x2)+/(x)<2得：/(l+ax+x2)<2-/(x),

即/(1+6+》2)</(1—》)，贝II1+以+f>l-x»

整理得f+(a+l)x>0,

当a=_l时，不等式的解集为｛X|XHO｝；

当a>-l时，不等式的解集为卜凤―(a+1)或x)0｝；

当a<—l时，不等式的解集为卜卬。或X)一(。+1)｝.

21、(1)/(x)=2sin(2x+e]；(2)/(x)min=-2,/(x)max=1

7T

【解析】（1）由图可知A=2,。=2,0,得。=2,所以

6

/(x)=2sinf2x+—\(2)当xe--,0时，一型V2x+四4二

,利用原始图象，可知/（力“讪=一2,

V6J1_2」666

/(x)=1

,\/max

试题解析：

rjiI1<

(1)由图可知一二--71----TI=—f:・T=71,

212122

.丁2兀

・・T==兀,co=2,

CD

=